Математическое моделирование НДС стержневых систем, пластин и оболочек (стр. 6 )

       Преобразования по (2.30) приводят к трем уравнениям равновесия, выраженным через перемещения (уравнения Ляме):

    (2.31)

  где ;

  - параметр Лапласа;

  - модуль сдвига.

  Если искомая деформация тела вызывается заданными принудительными смещениями какой-либо части его поверхности, то граничные условия для уравнений (2.26) формулируют, приравнивая функции u, v,w на границе заданных перемещениям. Сложнее, если на тело действует заданная поверхностная нагрузка и условия на поверхности выражаются равенствами (2.8) или в сокращенной форме (2.9) . Последние надо преобразовать, заменив в них напряжения через перемещения , что делается по той же схеме, что и в уравнениях (2.30).

       

  Помимо двух основных рассмотренных методов решения задач теории упругости в напряжениях и в перемещениях часто используется смешенная форма решения, когда разрешающие уравнения составляются частично относительно перемещений, а частично относительно напряжений. Такой прием применяется в задачах расчета оболочек.

  Глава 3. Вариационная формулировка задач теории упругости

  3.1. Общие замечания

  Рассмотренные в предыдущей главе уравнения механики деформируемого тела вместе с условиями на поверхности образуют законченную формулировку задачи теории упругости в дифференциальной форме. Однако это не единственная возможная формулировка задачи об отыскании напряженно-деформированного состояния тела.

  Оказывается, задачу определения функций , и , характеризующих это состояние, можно свести к определенному интегралу того или иного вида от этих функций, называемому функционалом, а сами функции, отражающие действительное состояние тела, найти из условия экстремума этого функционала. Математический аппарат такого подхода изучается в разделе математики, называемом вариационным исчислением. Поэтому положения, формулирующие свойства таких функционалов в теории упругости, получили название вариационных принципов.

       В данной главе прежде всего познакомимся с двумя основными принципами Лагранжа и Кастильяно, а также с некоторыми другими принципами. Укажем на связь этих принципов и вариационной формулировки задачи упругости с дифференциальной формой этой задачи.

       На основе вариационных принципов в механике твердых деформируемых тел строятся в настоящее время мощные приближенные методы анализа работы деформируемых тел и систем таких тел. Некоторые из них приводятся ниже и будут рассмотрены далее.

  3.2. Энергия деформируемого тела как функционал

  Под функционалом понимается скалярная величина, зависящая от некоторой функции или нескольких функций как от аргументов. Она определяется выбором функций-аргументов из некоторого заданного класса, совместимых с условиями задачи. Функционал можно трактовать как функцию, зависящую от бесконечного числа аргументов. Эти аргументы оказываются заданными, как только выбраны функции-аргументы.

       В разделе математики, называемом вариационное исчисление, изучаются условия, при которых функционалы обладают свойством локальной экстремальности (стационарности), т. е. при произвольном бесконечно малом изменении функций-аргументов значение функционала не  изменяется. Такие функции-аргументы, при которых функционал стационарен, называются экстремалями данного функционала.

       Напомним сначала некоторые классические задачи об отыскании экстремалей функционалов.

На рис. 3.1, а заштрихована площадь А, которую охватывает кривая , имеющая фиксированную длину L между точками В и С. Функционал

    (3.1)

имеет максимум, если кривая очерчена по окружности, т. е. из всех кривых длиной L, проходящих через точки В и С, экстремалью является часть окружности длиной L. Решение этой задачи было известно еще в древности.

Рис. 3.1

       На рис. 3.1, б изображена схема другой известной задачи о так называемой брахистохроне – кривой , обеспечивающей кратчайшее время соскальзывания под действием силы тяжести точечной массы (без трения) из точки А в точку В. вертикальная скорость массы , поэтому ее горизонтальная скорость будет . Отсюда найдем и время движения в виде функционала, зависящего от кривой :

  .  (3.2)

Эта задача, поставленная еще Г. Галилеем, была решена различными методами Я. Бернулли, Г. Лейбницем, И. Ньютоном и др.  Экстремалью в данном случае является циклоида, образованная качением круга по горизонтальной прямой . Радиус этого круга зависит от отношения .  Интересно, что при кривая наискорейшего спуска проходит частично несколько ниже оси (нижняя пунктирная линия на рис.3.1,б).

       Обратимся теперь к функционалу, имеющему важное значение в механике твердого тела, - функционалу, выражающему полную потенциальную энергию деформированного тела и действующей на него нагрузки (рис. 3.2, б). Полная энергия состоит из потенциальной энергии деформации тела (потенциал внутренних сил) U и энергии внешних сил (потенциал внешних сил) :

  .  (3.3)

Условно будем считать, что в начальном недеформированном состоянии  (рис. 3.2, а). Следовательно, полная энергия представляет собой изменение энергии

   

Рис. 3.2

внутренних и внешних сил при переходе тела из начального в деформированное состояние.

       Энергия любой системы сил измеряется работой, которую могут совершить эти силы при переводе системы из рассматриваемого состояния в начальное, нулевое, состояние, где принято . Поэтому при составлении выражения (3.3) будем вычислять энергию как работу внутренних сил упругости (для ) и внешних сил (для ) при мысленном переводе тела из деформированного в начальное недеформированное состояние.

       Составим вначале выражение для потенциала внутренних сил . Так как деформации по объему тела распределены неравномерно, то и энергия деформации в объеме тела распределена так же неравномерно. Введем понятие плотности энергии деформации или удельной потенциальной энергии деформации согласно выражению

  .  (3.4)

Оно показывает, что – это предел отношения энергии , накопленной в объеме , к объему , стремящемуся к нулю. Для однородного деформированного состояния выражает энергию, накопленную в единице объема материала.