Для общего случая напряженного состояния доказан закон парности касательных напряжений. В соответствии с ним 
Следовательно, тензор напряжений является симметричным относительно главной диагонали.
Наряду с напряжениями, действующими на площадках, нормальных к координатным осям х, у, z, часто возникает необходимость отыскания напряжений на площадках, произвольным образом наклоненных к указанным осям. Установим зависимость между проекциями полного напряжения на наклонной площадке 
с напряжениями 
,…
Выделим в окрестности точки элементарный тетраэдр, три грани которого совпадают с координатными плоскостями, а четвертая грань
образована секущей произвольной наклон-
ной плоскостью (рис. 1.3, а, б). Ее положение в пространстве опре - деляется нормалью 
. Обозначим косинусы углов (направляющие косинусы), образован-
ные этой нормалью с осями 
Площадь наклонной грани равна
, а площади других граней соответственно равны 
(индекс указывает направление нормали к площадке).
Очевидно, что для этих площадей справедливы соотношения
(1. 1)
Условие равновесия тетраэдра в проекции на ось x имеет вид
. (1.2) (1.2)
При записи уравнения равновесия удерживались только члены второго порядка малости (
, . . .). Поэтому горизонтальная проекция массовой силы не учитывается, так как она является величиной третьего порядка малости 
. Из равенства (1.2) имеем
. (1.3)
Далее из уравнений равновесия в проекции на оси у и z нетрудно получить аналогичные выражения для 
. Однако те же самые равенства можно записать, воспользовавшись так называемым правилом круговой подстановки индексов. В итоге приходим к системе уравнений
(1.4)
Таким образом, по известным компонентам тензора напряжений, записанным в осях х, у, z, могут быть найдены проекции полного напряжения 
на наклонной площадке, определяемой направляющими косинусами l, m, n.
Обозначим координатную ось, совпадающую с нормалью 
через
х и выберем на наклонной площадке две другие ортогональные
оси у', z'.
По составляющим 
,
можно получить значение нормального напряжения на той же площадке:
. (1.5)
Глава 2. Основные уравнения теории упругости
В данной главе получим классические уравнения деформирования среды в предположении, что среда эта — сплошная, однородная и изотропная, т. е. упругие свойства среды во всех направлениях одинаковы. Будем считать, что она линейно деформируема (для материала среды справедлив закон Гука), а перемещения и деформации тела достаточно малы. Там, где это необходимо, сделаем некоторые отступления от указанных допущений.
При составлении уравнений механики деформируемого твердого тела выбирается соответствующая система координат. В зависимости от формы тела используются декартовы, полярные, цилиндрические координаты и др. Эти уравнения можно записать также и для общего случая произвольных криволинейных координат. В данной главе используем наиболее часто применяемую в задачах декартову систему. В последующих главах для характерных задач покажем также особенности использования полярной системы. Применение других систем координат можно найти в более полных курсах теории упругости.
Для получения упомянутых уравнений в декартовой системе координат мысленно выделим в окрестности некоторой точки тела элементарный параллелепипед с размерами dx, dy, dz. Первая группа уравнений выражает условия равновесия этого элемента среды, их называют статическими уравнениями.
Вторая группа уравнений связывает деформации элемента тела с функциями, выражающими перемещения его точек. . Они называются геометрическими уравнениями.
Наконец, последняя группа уравнений — это уравнение, которое выражает зависимость между напряжениями и деформациями элемента. Именно в этих уравнениях учитываются механические свойства материала, их называют физическими. В данном случае они выражают закон Гука. Рассмотрим указанные уравнения подробно.
2.1. Уравнения равновесия элемента тела (статические уравнения)
На рис. 2.1, а) показан элементарный параллелепипед, на гранях которого указаны нормальные и касательные напряжения, которыми он взаимодействует с соседними элементами в общем случае. Ввиду бесконечной малости параллелепипеда на этом рисунке принято, что напряжения во всем его объеме остаются неизменными (однородное напряженное состояние). Поэтому здесь на параллельных гранях предполагаются равные, но противоположно направленные напряжения. По существу, это напряжения на трех взаимно ортогональных площадках, проведенных через рассматриваемую точку. Они составляют тензор напряжений в данной точке.
(2.1)
В предыдущей главе они использовались для анализа напряженного состояния в точке, т. е. для изучения законов изменения напряжений в зависимости от ориентации площадки, проведенной через точку.
В данном случае задача иная. Все компоненты тензора напряжений (2.1) в сплошной среде непрерывно изменяются от точки к точке тела, т. е. они являются непрерывными функциями координат 
или в сокращенной форме
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
