Рабочая учебная программа по элективному предмету «Преобразование числовых и буквенных выражений» для учащихся 11 класса (базовый уровень) на 2015/2016 учебный год (стр. 13 )

  . Учитывая, что -

  острые углы, делаем вывод, что .

IV. Подведение итогов. Домашнее задание.

  ЗАНЯТИЕ  10 (2часа)

Тема урока: Комплексные числа

Цель урока: Расширить числовое множество понятием комплексного числа; рассмотреть действия с комплексными числами; ознакомиться с тригонометрической и показательной формами комплексного числа.

  Ход урока

Проверка домашнего задания Объяснение нового материала.

  Из школьного курса математики известно, что квадратный корень из отрицательного числа не существует среди действительных чисел. Однако потребности алгебры и ее приложений требовали такого расширения понятия числа, при котором действие единицей извлечения квадратного корня из отрицательного числа стало бы осуществимым.

  Число корень квадратный из -1 принято обозначать буквой i, и называть мнимой единицей. Числа вида  , где и – обычные действительные числа, называются комплексными числами, где - действительная часть числа, а - мнимая.  При этом предполагается:

  1) в том и только в том случае, если и .

  2) Сложение определяется правилом

  .

Вычитание определяется правилом

  .

Умножение определяется правилом

  .

5)  Частное определяется правилом

  .6)  .

ПРИМЕР 1:

а) ;

б) .

ПРИМЕР 2:

а) ;

б) .

ПРИМЕР 3:

а) ;

б) .

ПРИМЕР 4:

а) ;

б) .

Комплексные числа  и  , отличающиеся знаком мнимой части, называются 

сопряженными. Если , то

  .

Комплексное число можно изобразить в системе координат  хОу в виде

вектора  , выходящего из начала координат. Длина этого вектора, равная расстоянию от точки А до начала координат, называется модулем этого числа и обозначается  , причем  .

  Аргумент  комплексного числа  () можно найти как угол, одновременно удовлетворяющий двум равенствам

    и  .

Если обозначить , то число z  можно записать в виде

 

Эта запись называется тригонометрической формой числа.

  Если    и  , тогда:  1)Умножение данных чисел производится по формуле:

 

 

Деление данных чисел производится по формуле:

 

  3)  Возведения комплексного числа в  степень производится по формуле Муавра:

  .

  4) Из формулы Муавра выводится формула извлечения корня n-й степени:

 

  Извлечение квадратного корня из комплексного числа можно осуществить, не

  обращаясь к тригонометрической форме.

  ,

  где  обозначает знак b, т. е. +1, если , и -1, если . 

  5) Комплексные числа можно представить в показательной форме

  .

  Эта формула получена из формулы Эйлера

  .

ПРИМЕР 5: Найти аргумент комплексного числа .

  Запишем равенства    и  . Ясно, что угол    им удовлетворяет, и так как  , то - главный аргумент числа  . Следовательно, аргументом числа  является любой из углов

 

ПРИМЕР 6: Вычислить 

  Запишем число    в тригонометрической форме:

  , 

Теперь возведем его в 7 степень по формуле Муавра: 

 

  ПРИМЕР 7:

.

ПРИМЕР 8:

.

ПРИМЕР 9: Найти  .

Имеем  . Согласно формуле

 

  .

Для  k  достаточно  взять значения 0,1,2. Получим три значения:

  ,