Рабочая учебная программа по элективному предмету «Преобразование числовых и буквенных выражений» для учащихся 11 класса (базовый уровень) на 2015/2016 учебный год (стр. 6 )

Доказательство: Предположим, что число является рациональным, тогда его  можно представить в виде несократимой дроби , где (т. к.>0). Возведем в квадрат обе части, получим: , следовательно - четное число, тогда и - четное число, т. е. его можно представить в виде , , тогда , , т. е. - четно и, следовательно, также четно. Получается, что - сократимая дробь, это противоречит предположению, следовательно - число иррациональное.

ПРИМЕР 2: Доказать иррациональность числа

Доказательство: Предположим противное , где - рациональное число. Тогда . Возведем это равенство в куб:  , откуда. Получилось, что равняется рациональному числу. Противоречие доказанному в предыдущем примере. Следовательно - число иррациональное.

  После разбора учителем примеров 1,2, ученикам предлагается следующее задание:

  5) Доказать иррациональность следующих чисел:

  а) ;  б);  в);  г) ; д) .

  Далее следует напомнить, что при работе с дробными выражениями, если в знаменателе стоит иррациональность, от нее принято избавляться, для удобства дальнейших вычислений.

ПРИМЕР 3: Исключить иррациональность в знаменателе:

  а);  б); 

Решение: Очевидно, что знаменатель первой дроби надо дополнить до разности  квадратов, а во второй и третьей до разности кубов.

а) .

б)  .

  Далее следует выборочное решение примеров из  № 6, 7, 8.

Исключить иррациональность в знаменателе

6) а) ;  б) ;  в) ;  г) .

7) а); б) ;  в) ;

  г);  д) ;  е)

8) а) ;  б) ;

  в) ;  г) .

Ответы.

7) а) ;  б) ;  в) ;

  г) ; д) ; е) .

8) а) .Указание. Использовать тот факт, что ;

  б) ;

  в) ;

  г)

III. Подведение итогов. Домашнее задание.

Доказать иррациональность числа:

а) ;  б) ;  в) .

  2) Привести к рациональному виду знаменатель дроби:

  а) ;  б) ;  в).

  Урок 2

Тема урока: Иррациональные числа

Цель урока:  Закрепить полученные на предыдущем уроке знания; рассмотреть примеры на все действия с радикалами.

  Ход урока

  I.  Проверка домашнего задания.

II. Самостоятельная работа.

Доказать иррациональность числа:

  а) ;  б) ;  в).

  2) Сократить дробь: 

  а) ; б) ;  в) ;  г) .

III. Решение задач. 

  На сегодняшнем уроке мы рассмотрим числовые выражения, содержащие действия с радикалами. Числовое иррациональное выражение удается упростить, если под знаком квадратного радикала стоит полный квадрат некоторого выражения.

Так в случае радикала второй степени вида , упрощение достигается

представлением:

  , где и находятся как решение системы уравнений:(*)

Например:, где , а  .

ПРИМЕР: Вычислить: