Рабочая учебная программа по элективному предмету «Преобразование числовых и буквенных выражений» для учащихся 11 класса (базовый уровень) на 2015/2016 учебный год (стр. 3 )

  Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

II. Объяснение нового материала.

  В школьном курсе математики наряду с заданиями «Найти значение выражения» встречаются задания вида: «Доказать равенство». Одним из самых универсальных методов доказательств математических утверждений,  в которых фигурируют слова  «для произвольного натурального n», является метод полной математической индукции.

  Доказательство при помощи этого метода всегда состоит из трех этапов:

Базис индукции. Проверяется справедливость утверждения для n = 1.

В некоторых случаях  для начала индукции приходится проверять несколько

начальных  значений.

Предположение индукции. Предполагается, что утверждение верно  для любого

n = k.

  3)  Индуктивный шаг. Доказывается справедливость утверждения для

  n = k + 1.

Таким образом, начав с n = 1, на основании доказанного индуктивного перехода получаем справедливость доказываемого утверждения для

n =2, 3,…т. е. для любого n.

  Рассмотрим несколько примеров.

ПРИМЕР 1: Доказать, что при любом натуральном n  число  делится  на 7 .

Доказательство:  Обозначим .

1 шаг. При n = 1  делится на 7.

2 шаг. Предположим, что   делится на 7.

3 шаг. Докажем справедливость утверждения для . Имеем

 

  Последнее число делится на 7, так как представляет собой разность двух целых чисел, делящихся на 7.

ПРИМЕР 2: Доказать равенство  .

Доказательство:

1 шаг. При n = 1 равенство очевидно.

2 шаг. Предположим, что при n = k  равенство верно.

3 шаг. Рассмотрим n =k+1, имеем 

  = .

  Таким образом, равенство справедливо и при k +1, поскольку   получается  из заменой n на k = 1.

III. Решение задач

  На первом уроке из приведенных ниже заданий (№ 1-3) для решения выбираются несколько на усмотрение учителя для разбора на доске. На втором уроке  рассматриваются  № 4,5; проводится самостоятельная работа  из № 1-3; № 6 предлагается как дополнительный, с обязательным решением его на доске.

1)  Докажите, что а) делится на 83;

  б) делится на 13;

  в) делится на 20801.

2)  Докажите, что при любых натуральных n:

а)   делится на 120;

б)   делится на 27;

в)   делится на 84;

г)   делится на 169;

д)   делится на 8;

е)   делится на 8;

ж)   делится на16;

з)   делится на 49;

и)   делится на 41;

к)   делится на 23;

л)   делится на 13;

м)   делится на .

3) Докажите, что:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

4) Выведите формулу суммы .

5) Найдите сумму  .

6) Докажите, что сумма членов каждой строки таблицы

  1

  2, 3, 4

  3, 4, 5, 6, 7

  …………….

  равна квадрату нечетного числа, номер которого в строке равен номеру  строки от начала таблицы.

Ответы и указания.

1) Воспользуемся записью, введенной в примере 4 предыдущего урока. 

а) . Следовательно, делится на 83  .

б) Поскольку , то  ;

. Следовательно,  .

в) Поскольку , то надо доказать, что данное число делится на 11, 31 и 61. Имеем  , т. е. . Аналогично доказывается делимость на 11 и 31.

2) а) Докажем, что данное выражение делится на 3, 8, 5. Делимость на 3 следует из того, что , а из трех последовательных натуральных чисел одно делится на 3. Для доказательства делимости на 8 рассмотрим четыре случая: , , , . Для проверки делимости на 5 достаточно рассмотреть значения n=0,1,2,3,4.

Пункты б) – м) доказываются по индукции. 

г)  Обозначим . При n=1  . (Можно было начать с n=0.)

Далее имеем 

. Таким образом, из того, что делится на169, следует делимость на 169 числа .

м) ,  - утверждение верно.

. Следовательно, если делится на , то и тоже делится.

3) в) При n=1 имеем , формула верна.

  Предположим, что формула верна для n=k, т. е.  .

  Докажем, что формула справедлива для n=k+1:

 

.