Рабочая учебная программа по элективному предмету «Преобразование числовых и буквенных выражений» для учащихся 11 класса (базовый уровень) на 2015/2016 учебный год (стр. 2 )

  Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.

  Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

  Признаки делимости на 3 и на 9. На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 – только те, у которых сумма цифр делится на 9.

  Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.

  Признак делимости на 5. На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5.

  Признак делимости на 25. На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25.

  Признаки делимости на 10,100,1000. На 10 делятся только те числа последняя цифра которых 0, на 100 - только те числа, у которых две последние цифры 0, на 1000 - только те, у которых три последние цифры 0.

  Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.

  На первом занятии мы рассмотрим натуральные и целые числа. Целые числа - это натуральные числа, числа противоположные им и ноль. Множество целых чисел обозначается Z. 

II. Решение задач.

ПРИМЕР 1. Разложите на простые множители: а) 899;  б) 1000027.

Решение:  а) ;

  б) ПРИМЕР 2. Найти НОД чисел 2585 и 7975.

Решение: Воспользуемся алгоритмом Евклида:

  Если 

  ;

  ;

  ………………………..

  ; тогда НОД.

Разделим 7975 на 2585 уголком:

  7975|2585

  7755|3

  2585|220 -

|11

  385

  220

  220 |165 -

  165 |1

  165|55 -

  165|3

  0

Ответ: НОД(2585,7975) = 55.

ПРИМЕР 3. Вычислите:

  19871987198919891989 - 19891989198719871987.

Решение: 19871987198919891989 = 1987100011989100010001. Этому же значению равно и второе произведение. Следовательно, разность равна 0.

ПРИМЕР 4. Найдите НОД и НОК чисел а) 5544 и 1404;  б) 198, 504 и 780.

Ответы: а) 36; 49896;  б) 6; 360360.

ПРИМЕР 5. Найти частное и остаток при делении

  а) 5 на 7;  ; 

  б) 120 на 13;  ;

  в) -529 на (-23);  ;

  г) -410 на 47;  ;

  д) 256 на (-15);  .

ПРИМЕР 6. По делимому и остатку найти делитель и частное

  а)

Решение: , . Делители числа 94 дадут делитель и частное при условии .

b	94	-94	47	-47
q	1	-1	2	-2

  б)

Решение: , .Следовательно

  .

ПРИМЕР 7. Найти остаток от деления  числа  на17.

Решение: Введем запись , означающую, что при делении на m числа a, b,c,…d дают один и тот же остаток.

 

 

  Следовательно, при любом натуральном  k будет

 

  Но 1989=16124+5. Значит,

 

Ответ: Остаток равен 12.

ПРИМЕР 8. Найдите наименьшее натуральное число, большее 10, которое при делении на 24, 45, и 56 давало бы в остатке 1.

Ответ: НОК(24;45;56)+1=2521.

ПРИМЕР 9. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 7, а при делении на 3, 4 и 5 дает в остатке 1.

Ответ: 301. Указание. Среди чисел вида  60k + 1 надо найти наименьшее, делящееся на 7; k = 5.

ПРИМЕР 10. Припишите к 23 по одной цифре справа и слева так, чтобы получившееся четырехзначное число делилось на 9 и на 11.

Ответ: 6237.

ПРИМЕР 11. Припишите к числу 19901990 сзади три цифры так, чтобы полученное число делилось на 7, на 8 и на 9.

Ответ: 304 или 808. Указание. Число 19901990000 при делении на 504 (504 = 789) дает в остатке 200. Следовательно, если прибавить к нему 304 или 808, оно будет делиться  на 504.

ПРИМЕР 12. Можно ли в трехзначном числе, делящемся на 37, переставить цифры так, чтобы полученное число тоже делилось на 37?

Ответ: Можно. Указание. Пусть число   делится на 37, докажем, что также делится  на 37. Имеем  A = 100a + 10b + c = 37k, откуда c =37k -100a – 10b. Тогда B = 100b +10с + a = 100b + 10 (37k – 100a – 10b) + a = 370k – 999a, то есть В делится на 37.

ПРИМЕР 13. Найдите число, при делении на которое числа 1108, 1453,1844 и 2281 дают одинаковый остаток.

Ответ: 23. Указание. Разность любых двух данных чисел делится на искомое. Значит, нам подходит любой, отличный от 1 общий делитель всевозможных разностей данных

чисел.

ПРИМЕР 14. Представьте 19 в виде разности кубов натуральных чисел.

Ответ: .

ПРИМЕР 15. Квадрат натурального числа равен произведению четырех последовательных нечетных чисел. Найдите это число.

Ответ: .

ПРИМЕР 16. Доказать, что а) делится на 100;

  б)  не делится на 10.

Ответ: а) Указание. Сгруппировав первое и последнее слагаемое, второе и предпоследнее и т. д., воспользоваться формулой суммы кубов.

  б) Указание. Рассуждая аналогично (а) получим, не делится на 10.

Примечание. Данные примеры предлагаются учащимся в любом порядке. Пример 7 решается и объясняется учителем.

III. Подведение итогов. Домашнее задание.

1) Найдите НОД чисел: а) 3024 и 3168; б) 2021 и 3139; в) 123456789 и 987654321.

  Ответы: а) 144; б) 43; в) 9.

2) Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5,6 и 7  дает в остатке  соответственно 2,3 и 4

  Ответ:  искомое число есть НОК(5;6;7)-3=207.

3) Среди чисел вида 66…61 найдите наименьшее, не являющееся простым.

  Ответ: .

4) Найдите все пары натуральных чисел, НОД которых равен 5, а НОК – 105.

  Ответ: 5, 105 или 15, 35.

  ЗАНЯТИЕ 2 (2 часа)

Тема урока: Метод математической индукции.

Цель урока: Рассмотреть математические утверждения, требующие доказательства; познакомить учащихся с методом математической индукции; развивать логическое мышление.