Морфологическая устойчивость границы раздела двух неньютоновских жидкостей при движении в ячейке Хеле-Шоу (стр. 2 )

.                                (2.5)

Постоянная m называется индексом текучести  жидкости, с его  увеличением – уменьшается текучесть жидкости. Параметр k – степенной показатель,  характеризует степень неньютоновского поведения материала. Чем больше k отличается от единицы (в большую или меньшую сторону), тем отчетливее проявляется аномалия вязкости и нелинейность кривой течения. Для псевдопластиков k<1, у дилатантных жидкостей k>1, и соответственно у ньютоновской жидкости k=1. Для большинства используемых на практике жидкостей степенной показатель k лежит в интервале от 0 до 2 (в частности нефть и ряд масел имеют k ? 0,8). Среди дилатантных жидкостей k>2 обладает, например, засахаренный мед и k?2 для ряда сухих сыпучих сред [4].

В случае рассматриваемого течения жидкость будет иметь только радиальную составляющую вектора скорости . Тогда тензор напряжений и  скорость сдвига можно записать в виде:

                       (2.6)

                       (2.7)

Течение в ячейке Хеле-Шоу происходит в узкой щели (z<<r), поэтому скорость в перпендикулярном течению направлении меняется существенно быстрее, чем в радиальном направлении: . Кроме того, будем считать, что изменение радиальной компоненты скорости по угловой координате мало, т. е.  . С учетом этих предположений, подставив (2.7) в (2.5), получим:

,                                        (2.8)

и, подставляя Eqs. (2.6) и (2.8) в Eq. (2.3), получим2:

.                                 (2.9)

C учетом граничных условий:

,

из (2.9) получим, что скорость радиального течения жидкости определяется соотношением:

.                        (2.10)

Усреднив скорость по толщине ячейки, получим:

,                        (2.11)

где .

Соотношение (2.11) является аналогом закона Дарси для радиального течения в плоской ячейке в случае движения неньютоновской жидкости, удовлетворяющей ряду требований, перечисленных выше. При k=1 Eq. (2.11) сводится к классическому закону Дарси , где m становится ньютоновской вязкостью жидкости.

3. Линейный анализ морфологической устойчивости границы при вытеснении  одной неньютоновской  жидкости  другой неньютоновской

Будем рассматривать медленное квазистационарное вытеснение одной жидкости  другой в ячейке Хеле-Шоу. Пусть время вытеснения много больше времени установления распределения давления. Обе жидкости считаются несмешивающимися и несжимаемыми. Движение рассматривается квазидвумерным, все характеристики потока усреднены по толщине ячейки.

Перед тем как проводить строгое решение задачи, качественно обсудим причину  потери устойчивости. Воспользуемся законом Дарси (2.11). Предположим, что поверхность раздела двух жидкостей слегка деформировалась, так, что появилось искажение границы с амплитудой  . В вытесняющей жидкости вблизи возмущения, согласно закону Дарси, давление изменится на величину , а во второй жидкости  - на величину  , где k и l – индексы течения для вытесняющей и вытесняемой жидкостей, соответственно. Тогда при переходе через поверхность раздела между двумя жидкостями перепад давления составит . Если перепад давления будет отрицательным, возникшее возмущение будет подавлено. Когда же перепад будет положительным, и сил поверхностного натяжения не хватит, чтобы скомпенсировать это локальное увеличение давления со стороны вытесняющей жидкости, то происходит потеря устойчивости поверхности раздела и возмущение начнет расти. Следовательно, для потери устойчивости необходимо, чтобы выполнялось условие:

.                (3.1)

Для ньютоновской жидкости (k=l=1) условие (3.1) преобразуется к привычному условию для соотношения вязкостей жидкостей , где и – вязкости вытесняющей и вытесняемой жидкостей, соответственно.

Перейдем теперь к строгому решению задачи. Скорость движения обеих жидкостей описывается уравнением (2.11):

,                                (3.2)

,                                (3.3)

где - давление в жидкости (=1,2 для вытесняющей либо для вытесняемой жидкости, соответственно), - скорость движения i-ой жидкости, .

Поскольку жидкости несжимаемы, будет выполняться условие непрерывности потока:

  ,                 (3.4)

На поверхности раздела жидкостей и на границах ячейки выполняются граничные условия:

,                (3.5)

,        (3.6)

,        (3.7)

,        (3.8)

где – нормаль к поверхности раздела жидкостей, - радиус отверстия, через которое поступает вытесняющая жидкость с постоянным расходом , - размер ячейки Хеле-Шоу, занятой вытесняемой жидкостью, – координаты границы раздела двух жидкостей, - кривизна поверхности в направлении движения, – поверхностное натяжение.

Граничное условие (3.5) определяют способ организации вытеснения жидкостей в ячейке - при постоянном расходе поступающей жидкости. Граничное условие (3.6) представляет собой условие непрерывности скорости движения жидкостей на границе раздела. Eq. (3.7) – условие Лапласа, задающее скачок давления на искривленной границе двух жидких фаз: с кривизной в плоскости параллельной вытеснению и с кривизной 2/b в плоскости перпендикулярной3. Давление вытесняемой жидкости на внешней границе ячейки считается постоянным Eq. (3.8) и для удобства расчета выбрано нулевым (в связи с этим можно считать некими избыточными давлениями по сравнению со внешним).

Считаем, что граница жидкостей подвергается малому гармоническому возмущению. В полярной системе координат форму возмущенной поверхности представим в виде:

,        (3.9)