Морфологическая устойчивость границы раздела двух неньютоновских жидкостей при движении в ячейке Хеле-Шоу (стр. 6 )

  Пусть k=l, l<2. Тогда из Eq. (3.14) получаем:

                       .        (B.1)

Согласно Eq. (B.1), критический радиус (?) стремиться к бесконечности при  (Fig. B.1(a)). При скорость роста возмущения всегда будет отрицательной, т. е. поверхность раздела будет устойчива к возмущению с гармоникой n. Зависимость (?) является возрастающей из нуля функцией, при этом  для различных мод возмущения (?) не будут пересекаться (Fig. B.1 (b)).

       Fig. B.1. Критический радиус  в случае k=l=0.6 в зависимости от: a) параметра ?, при ? =0.03 m2-l ; b) от параметра ?, при ? =0.3 ml-k.

Пусть k=l=2. Тогда в Eq. (3.14) исчезает зависимость от R. Как следствие, устойчивость или неустойчивость  возмущения с модой n не зависит от размера поверхности раздела, а определяется только параметрами ? и ?. Например, при ?=0.3, ?=0.03 любая мода возмущения будет устойчивой, а для ?=0.3, ?=0.003 становятся неустойчивыми моды с 3 по 13, и устойчивыми остальные.

Пусть l=2, k>l. Тогда критический радиус, согласно Eq. (3.14), равен:        .                (B.2)

Зависимости Rs, l=2 от параметров ? и ? приведены на Fig. B.2 (a, b).  Как следует из (B.2), при критический радиус неограниченно увеличивается. Если вытеснение будет происходить при , поверхность раздела всегда будет устойчивой к возмущению с гармоникой n.

       Fig. B.2. Критический радиус  в случае l=2, k=3  в зависимости от: a) параметра ?, при ?=0.003 m2-l ; b) от параметра ?, при ?=0.3 ml-k

 
  Пусть k=l, l>2. Тогда, согласно Eq.(B.1), при  критический радиус будет обращаться в ноль (Fig. B.3(a)) , а при ? >0  Rs>?. Другой особенностью этого случая, является то, что кривые Rs(?) для различных гармоник возмущения не будут пересекаться Fig. B.3 (b).

       Fig. B.3. Критический радиус  в случае k=l=3 в зависимости от: a) параметра ?, при ?=0.03 m2-l ; b) от параметра ?, при ?=0.05 ml-k.

Пусть l=2 и k<l. Тогда из формулы (B.2) следует, что значение критического радиуса будет нулевым при (Fig. B.4(b)), а при (Fig. B.4(a)). Отметим также, что кривые Rs(?) для различных мод возмущения не пересекаются (Fig. B.4(a)).

       Fig. B.4.  Критический радиус  в случае k=0.7, l=2 в зависимости от: a) параметра ?, при ?=0.005 m2-l ; b) от параметра ?, при ?=0.1 ml-k.

References

[1]        R. Bird, W. Stewart, and E. Lightfoot, Transport Phenomena (John Wiley & Sons, Inc., New York, 2007).

[2]        W. L. Wilkinson, Non-Newtonian Fluids. Fluid Mechanics, Mixing and Heat Transfer (Pergamon Press, London, 1960).

[3]        A. D. Polyanin, A. M. Kutepov, D. A. Kazenin, and A. V. Vyazmin, Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering (Taylor and Francis, London, 2001), p. 408.

[4]        H. Van Damme, C. Laroche, L. Gatineau, and P. Levitz, J. Phys. 48, 1121 (1987).

[5]        S. L. Yang, Z. C. Liang, R. F. Shao and L. Lam, in: Wave Phenomena: Theoretical, Computational, and Practical Aspects, eds. L. Lam and H. C. Morris (Springer, New York, 1989).

[6]        K. V. McCloud and J. V. Maher, Phys. Rep. 260, 139 (1995).

[7]        J. Nittman, G. Daccord, and H. E. Stanley, Nature 314, 141 (1985).

[8]        J. Nittmann, Phys. A Stat. Mech. Its Appl. 140, 124 (1986).

[9]        D. Bonn, H. Kellay, M. Amar, and J. Meunier, Phys. Rev. Lett. 75, 2132 (1995).

[10]        N. Kagei, D. Kanie, and M. Kawaguchi, Phys. Fluids 17, 054103 (2005).

[11]        A. Buka, P. Palffy-Muhoray, and Z. Racz, Phys. Rev. A 36, 3984 (1987).

[12]        H. Van Damme, C. Laroche, and L. Gatineau, Rev. Phys. Appl. 22, 241 (1987).

[13]        E. Lemaire, P. Levitz, G. Daccord, and H. Van Damme, Phys. Rev. Lett. 67, 2009 (1991).

[14]        H. Zhao and J. Maher, Phys. Rev. E 47, 4278 (1993).

[15]        E. Poire and M. Amar, Phys. Rev. Lett. 81, 2048 (1998).

[16]        M. Amar and E. Poire, Phys. Fluids 11, 1757 (1999).

[17]        L. Kondic, P. Palffy-Muhoray, and M. Shelley, Phys. Rev. E 54, R4536 (1996).

[18]        L. Kondic, M. Shelley, and P. Palffy-Muhoray, Phys. Rev. Lett. 80, 1433 (1998).

[19]        P. Fast, L. Kondic, M. J. Shelley, and P. Palffy-Muhoray, Phys. Fluids 13, 1191 (2001).

[20]        S. Mora and M. Manna, Phys. Rev. E 80, 016308 (2009).

[21]        J. Sader, D. Chan, and B. Hughes, Phys. Rev. E 49, 420 (1994).

[22]        M. Constantin, M. Widom, and J. Miranda, Phys. Rev. E 67, 026313 (2003).

[23]        J. Fontana, S. Lira, and J. Miranda, Phys. Rev. E 87, 013016 (2013).

[24]        L. M. Martyushev and A. I. Birzina, J. Phys. Condens. Matter 20, 045201 (2008).

[25]        L. M. Martyushev and A. I. Birzina, Tech. Phys. Lett. 34, 213 (2008).

[26]        L. M. Martyushev, A. I. Birzina, M. S. Konovalov, and a. P. Sergeev, Phys. Rev. E 80, 066306 (2009).

[27]        L. M. Martyushev and A. I. Birzina, JETP Lett. 99, 446 (2014).

[28]        J. Maher, Phys. Rev. Lett. 54, 7 (1985).

[29]        G. Tryggvason and H. Aref,  J. Fluid Mech. 136, 1 (1983).

[30]        L. Carrillo, F. Magdaleno, J. Casademunt, and J. Ortin, Phys. Rev. E 54, 6260 (1996).

[31]        J. Casademunt, Chaos 14, 809 (2004).

[32]        L. A. Spodareva,  J. Appl. Mech. Tech. Phys., 41, 446 (2000).

[33]        E. Ben-Jacob and P. Garik, Nature (London) 343, 523 (1990).

Подрисуночные подписи

Fig. 4.1. Критический радиус  поверхности раздела двух shear-thinning жидкостей, k=0.9 и l=0.6 в зависимости от: a) моды возмущающей гармоники n при ?=0.4 ml-k, ?=0.007 m2-l; b) параметра ?, при ?=0.03 m2-l ; c) от параметра ?, при ?=0.3 ml-k.

Fig. 4.2. Схематичый рисунок,  показывающий возможные варианты эволюции поверхности раздела жидкостей, в случаях если вытеснение начинается с различных начальных размеров. R и - характерный и критический размеры, соответственно; ? и ? параметры, связанные с типом жидкости и скоростью вытеснение;  ti – различные моменты времени.

Fig. 4.3. Критический радиус  при k=1.9 и l=3 в зависимости от: a) моды возмущающей гармоники n при ?=0.3 ml-k, ?=0.05 m2-l; b) параметра ?, при ? =0.05 m2-l ; c) от параметра ?, при ? =0.3 ml-k.

Fig. 4.4. Схематичый рисунок,  показывающий возможные варианты эволюции поверхности раздела жидкостей, в случаях если вытеснение начинается с различных начальных размеров. R и - характерный и критический размеры, соответственно; ? и ? параметры, связанные с типом жидкости и скоростью вытеснение; ti – различные моменты времени.

Fig. 4.5. Критический радиус  поверхности раздела при k=0.1 и l=0.6 в зависимости от: a) моды возмущающей гармоники n при ?=0.3 ml-k, ?=0.03 m2-l; b) параметра ?, при ?=0.03 m2-l. Нижняя часть графика Rs начинается из значения , верхняя часть графика Rs стремиться к бесконечности; c) от параметра ?, при ?=0.3 ml-k. Нижняя часть графика Rs стремиться к 0 при ?>0, а верхняя часть графика Rs оканчивается в точке.

Fig. 4.6. Схематичый рисунок,  показывающий возможные варианты эволюции поверхности раздела жидкостей, в случаях если вытеснение начинается с различных начальных размеров. R и - характерный и критический размеры, соответственно; ? и ? параметры, связанные с типом жидкости и скоростью вытеснение;  ti – различные моменты времени. Дополнить

Fig. 4.7. Критический радиус  поверхности раздела при k=1.9 и l=1.5 в зависимости от: a) моды возмущающей гармоники n при ? =0.1 ml-k, ? =0.03 m2-l; b) параметра ?, при ? =0.03 m2-l. При ? >0 в нижней части графика  Rs >0, а верхняя часть заканчивается в значении: ; c) параметра ?, при ?=0.3 ml-k. При ?>0 в нижней части графика Rs>0, а верхняя часть заканчивается в значении: .

Fig. B.1. Критический радиус  в случае k=l=0.6 в зависимости от: a) параметра ?, при ? =0.03 m2-l ; b) от параметра ?, при ? =0.3 ml-k.

Fig. B.2. Критический радиус  в случае l=2, k=….  в зависимости от: a) параметра ?, при ?=0.003 m2-l ; b) от параметра ?, при ?=0.1 ml-k

Fig. B.3. Критический радиус  в случае k=l=3 в зависимости от: a) параметра ?, при ?=0.03 m2-l ; b) от параметра ?, при ?=0.15 ml-k.

Fig. B.4.  Критический радиус  в случае k=0.5, l=2 в зависимости от: a) параметра ?, при ?=0.03 m2-l ; b) от параметра ?, при ?=0.3 ml-k.

1 Это соотношение описывает линейный участок зависимости , предварительно построенной в логарифмическом масштабе и справедливо для многих материалов. При очень низких и очень высоких скоростях сдвига неньютоновские жидкости ведут себя как ньютоновские с малой и большой вязкостью (два плато на упомянутом выше логарифмической зависимости). Для описания этих предельных участков степенная модель не подходит (однако, на практике редко сталкиваются с этими случаями).

2 Подстановка (2.6) и (2.8) в Eqs. (2.2) и (2.3) приводит с учетом сделанных предположений к тривиальным соотношениям  (производные от давления  по ? и z равны нулю).

3 Традиционно считается, что граница раздела в плоскости перпендикулярной течению представляет собой полукруг, с радиусом, равным половине b

4 Работа [21] представляет наибольший интерес для нас. В этой работе рассматривается радиальное вытеснение ньютоновской жидкостью разжижающейся/сгущающейся жидкости с постоянным расходом вытесняющей жидкости. Жидкости не смешиваются. Вязкостью вытесняющей жидкости пренебрегают. Используя степенную модель Оствальда-де Виля, находят уравнение для скорости роста бесконечно малого возмущения, критический радиус потери устойчивости. Основное отличие нашей постановки - неньтоновская вытесняющая жидкость имеет произвольную вязкость.

5 Легко видеть, что параметры ? и ?  всегда не отрицательны.

6 Согласно Eq. (3.14), существует ряд частных случаев (k=l либо l =2) несколько отличных по поведению критического радиуса от основных. Эти случаи описаны в Appendix B.