Морфологическая устойчивость границы раздела двух неньютоновских жидкостей при движении в ячейке Хеле-Шоу (стр. 3 )

где R – радиус невозмущенной поверхности, ? – амплитуда возмущения, – мода гармоники возмущения. Тогда, с учетом (3.9), в линейном приближении .

Решение задачи (3.2-3.9) проводится методом теории возмущения. Давление представляется в виде ряда по степеням возмущения : и в результате находится давление в невозмущенном состоянии и в первом порядке малости . Процедура решения задачи представлена в Appendix A. Зная давление в жидкостях, можно с помощью (3.3) записать скорость движения вытесняемой жидкости на границе (A4). С другой стороны, на основании (3.9) скорость движения границы раздела жидкостей можно записать в виде:

.                                (3.10)

Сравнивая выражения (А4) и (3.10), получаем, что скорость движения поверхности раздела и скорость роста возмущения равны:

  ,                (3.11)

,        (3.12)

где , .

Заметим, что если k=1, l=1, то выражение (3.12) сводится к выражению, полученному в [24] для случая движения двух ньютоновских жидкостей в радиальной ячейке Хеле-Шоу. Если же в выражении (3.12) k?1, l?1, но пренебречь размерами ячейки () и вязкостью вытесняющей жидкости (), то оно сводится к выражению для скорости роста возмущения поверхности раздела, полученному в работе [21]4. Таким образом, полученное уравнение (3.12) обобщает все ранее известные решения. 

Из условия можно найти критический радиус , по достижении которого скорость роста возмущения меняет свой знак. Если смена знака происходит с отрицательного на положительный при увеличении размера области вытеснения R, то форма поверхности раздела теряет устойчивость при R> по отношению к гармоническим возмущениям бесконечно малой амплитуды. Если знак меняется с положительного на отрицательный, то при R< граница является неустойчивой, а при  R> устойчивой (при этом если вытеснение начинать с размера R> рост в отличии от других случаев будет все время устойчивым).

Чтобы упростить дальнейший анализ, как и в [21], будем считать, что размер отверстия, через которое поступает вытесняющая жидкость, очень мал, а сама ячейка Хеле-Шоу, напротив, очень велика, т. е. . Введя обозначения5 , , преобразуем  (3.12) к виду:

       (3.13)

Знаменатель в формуле (3.13) всегда положительное число. Тогда смена знака скорости роста возмущения будет определяться уравнением:

,                (3.14)

где слагаемое связано с вязкостями жидкостей, а слагаемое – с поверхностным натяжением на границе двух жидкостей. Если слагаемое U может быть как положительным, так и отрицательным, то слагаемое S всегда положительно.

Уравнение (3.14) является наиболее важным в настоящей работе. Из этого уравнения видно, что смена знака скорости роста возмущения гармоники n будет возможна, если выполняется условие (необходимое условие):

или  .                (3.15)

Если , то и из (3.15) получим необходимое условие, при выполнении которого будет возможна потеря устойчивости поверхности раздела при наличии в системе возмущений всех возможных мод бесконечно малой амплитуды:

.                                        (3.16)

Заметим, что если в условии (3.1) учесть, что скорость движения жидкости , то соотношение (3.1) и (3.16) совпадают.

При выполнении (3.16), из формул (3.13) и (3.14) видно, что достаточными условиями для потери морфологической устойчивости к бесконечно малым возмущениям, является:

или                (3.17)

а для сохранения морфологической устойчивости к бесконечно малым возмущениям:

                  или                 (3.18)

Далее, основываясь на полученных условиях, проанализируем возможные неустойчивости при рассматриваемом вытеснении неньютоновских жидкостей.

4. Анализ результатов

Проведенный выше анализ на морфологическую устойчивость определяет предельный (так называемый, критический) размер поверхности раздела жидкостей, после которой граница теряет свою круглую форму. Так как проведен лишь линейный анализ, то полученный результат справедлив лишь при достаточно  малых (строго говоря, бесконечно-малых) возмущениях границы. Если вытеснение начинается с минимально возможных размеров (порядка ), то мода nmin, которая  соответствует минимальному критическим радиусу , является наиболее важной с точки зрения потери морфологической устойчивости. Именно по гармонике этой моды начинает искажаться  круглая форма поверхности раздела. При наличии в вытесняемой системе возмущений с другими модами (бесконечно-малых амплитуд)  при R?(nmin) они будут, согласно (3.14), устойчивы. Что будет с этими модами при  R>(nmin) сказать, используя результаты предыдущего раздала, и, в частности (3.14), нельзя. Это связано с тем, что все выполненные ранее вычисления сделаны в предположении квазистационарного развития круглой границы, а  при R>(nmin)  поверхность будет уже искаженной по моде nmin, которая экспоненциально быстро увеличивается со временем. Поэтому, строго говоря, даже, несмотря на то эти моды могут расти быстрее nmin, проведенный линейный анализ не позволяет судить об их поведении при  R>(nmin).  В случае, если вытеснение начинается  с размера большего чем (nmin), и для этого размера  несколько мод, согласно (3.14), оказываются неустойчивыми, то наиболее быстро растущая мода является определяющей с точки зрения формы потерявшей устойчивость границы раздела. Таким образом, критический размер устойчивости , является важнейшим параметром, определяющим  форму развивающейся неустойчивости. Ниже мы будем исследовать его поведение в зависимости от моды возмущения и параметров вытеснения.

Если рассмотреть трансляционное возмущение с , из (3.14) легко получить: