Морфологическая устойчивость границы раздела двух неньютоновских жидкостей при движении в ячейке Хеле-Шоу (стр. 4 )

       ,                        (4.1)

Так как для любых значений R>0 будет выполняться соотношение  <0, то гармоника с всегда устойчива. Этот результат совпадает со случаем вытеснения ньютоновских жидкостей при рассмотрении вытеснения в бесконечно-большой ячейке [25].

Если, пренебречь вязкостью вытесняющей жидкости (?=0), то Eq. (3.14) всегда имеет одно решение относительно размера, и оно может быть выражено явно:

.                        (4.2)                

Это решение соответствует результату работы [24], в которой рассматривалось вытеснение жидкостью с пренебрежимо малой вязкостью.

Для остальных гармоник () и произвольного значения вязкости вытесняющей жидкости анализ Eq.(3.14) показывает существование не только одного решения относительно R, но и, при (l-k)/(l-2)<0, двух решений, что ранее в работах [24-26] не обнаруживалось. Численный анализ Eq.(3.14) для определения критического радиуса показал, что всего возможны четыре типа поведения поверхности раздела в зависимости от параметров ? (характеризующего вязкие силы), ?  (характеризующего капиллярные силы) и индексов течения жидкостей k, l. При первых двух типах: уравнение (3.14) имеет один корень, и, в принципе, подобные решения качественно можно получить и при пренебрежимо малой вязкости вытесняющей жидкости. Два других типа возможны, только если в решении рассматриваются обе жидкости неньютоновскими с не нулевой вязкости. Рассмотрим ниже подробнее эти четыре типа поведения6.

1) Случай k?l, l?2.

В данном случае поверхность раздела будет устойчива к возмущению с гармоникой n при размерах, меньших ее критического радиуса Rs(n), и неустойчивой при больших размерах (см. Fig. 4.1(а)). Причина этого конкуренции слагаемых S и U (см. Eq. (3.14). Для рассматриваемого соотношения параметров жидкостей k и l при малых размерах поверхности раздела выполняется (3.18), малые возмущения будут уменьшаться и вытеснение будет устойчивым. Однако, начиная с некоторого критического размера, оказывается справедливым (3.17)  и граница теряет круглую форму. Номер гармоники с наименьшим критическим радиусом зависит от различных комбинаций k, l, ?, ? (для примера на Fig. 4.1(a) это n=5).

Рассмотри поведение Rs от ? (см. Fig. 4.1(b)). При ?=0 кривая начинается из значения, определяемого формулой (4.2) и при увеличении ? монотонно возрастает для каждой гармоники. Из приведенного на Fig. 4.1(b) примера видно, что для данного значения ?, при малом значении ? первым неустойчивым становится возмущение с n=2, затем с n=3 и далее по возрастающей. Если ? увеличивается, то вначале неустойчивой становиться гармоника моды три, при дальнейшем увеличении ?, – гармоника моды четыре, и, в конце концов, последовательность неустойчивых гармоник по мере вытеснения становится обратной: 4, 3, 2 (Fig. 4.1(b)).  Таким образом, при увеличении параметра ? гармоники, обладающие наименьшим радиусом устойчивости, пересекаются друг с другом и последовательно сменяют друг друга. На графике Rs(?)  область пересечения гармоник будет сдвигаться в сторону меньших ? и меньших значений Rs, если уменьшить значение параметра ?. 

Рассмотрим зависимость критического радиуса от параметра ?  для различных гармоник возмущения Fig. 4.1(c). Rs  монотонно возрастает с увеличением ?. При малых ? первыми терять устойчивость по мере вытеснения жидкостей будут гармоники с большими модами. При увеличении ?, порядок меняется, и устойчивость нарушается начиная с меньшей моды. На графике Rs(?) область пересечения гармоник будет сдвигаться в сторону меньших ? и меньших размеров границы Rs, если уменьшить значение параметра ?. 

На Fig. 4.2 схематично представлена возможная эволюция фронта вытеснения начиная с размера меньшего и большего Rs. Видно, что фронт вытесния изменятся в процессе роста от устойчивого (круглого) до неустойчивого. Такое поведение достаточно типично для вытесения в ячейке Хеле-Шоу, и многократно описывалось ранее, в частности при вытеснении ньтоновских жидкостей [25,26]. 

       Fig. 4.1. Критический радиус  поверхности раздела двух shear-thinning жидкостей, k=0.9 и l=0.6 в зависимости от: a) моды возмущающей гармоники n при ?=0.4 ml-k, ?=0.007 m2-l; b) параметра ?, при ?=0.03 m2-l ; c) от параметра ?, при ?=0.3 ml-k.

       Fig. 4.2. Схематичый рисунок,  показывающий возможные варианты эволюции поверхности раздела жидкостей, в случаях если вытеснение начинается с различных начальных размеров. R и - характерный и критический размеры, соответственно; ? и ? параметры, связанные с типом жидкости и скоростью вытеснение;  ti – различные моменты времени.

  2) Случай  k?l, l?2. 

В отличие от рассмотренного выше первого типа поведения, в этом случае устойчивые и не устойчивые области меняются местами: для малых значений размеров вытесняющей области неустойчивая, для больших размеров – устойчивая. Таким образом, какой бы жидкостью (ньютоновской, shear-thinning или shear-thickening) мы не вытесняли более вязкую неньютоновскую, поверхность раздела всегда будет неустойчива, если вытеснение начинается с малого размера (Fig. 4.3(a)). Это связано с тем, что при k?l всегда выполняется  (3.17).  Однако, если начинать вытеснение не с малого размера, то, как видно из Fig. 4.3(a), чем больший начальный радиус поверхности раздела мы возьмем, тем больше мод будут устойчивыми.  Дело в том, что с увеличением  размера абсолютное значение U уменьшается, а абсолютное значение S, напротив, увеличивается. В итоге, превысив некое пороговое значение (для Fig. 4.3(a) это значение около 0.9 m), поверхность раздела становится абсолютно устойчивой к любым модам бесконечно малых возмущений.

На Fig. 4.3(b, c) представлены зависимости Rs(?) и Rs(?). Как видно, с увеличением параметров ? и ? критические радиусы устойчивости уменьшаются. Скорость уменьшения для различных гармоник различна, как следствие место их пересечения зависит от параметров жидкостей. На графике Rs(?) область пересечения гармоник будет сдвигаться в сторону меньших ? и больших значений Rs, если уменьшить значение параметра ?.  Аналогично, на графике Rs(?) область пересечения гармоник будет сдвигаться в сторону меньших ? и больших критических размеров границы Rs, если уменьшить значение параметра ?. 

На Fig. 4.4 схематично представлена возможная эволюция фронта вытеснения начиная с размера меньшего и большого Rs. Видно, что в отличие от предыдущего случая (Fig. 4.2), фронт вытесния может всегда оставаться устойчивым для любых характеристик жидкостей  ? и ? если начальный размер с которого происходит вытеснение достаточно большой. Такое поведение ранее никогда не наблюдалось при вытеснении ньтоновских жидкостей. 

       Fig. 4.3. Критический радиус  при k=1.9 и l=3 в зависимости от: a) моды возмущающей гармоники n при ?=0.3 ml-k, ?=0.05 m2-l; b) параметра ?, при ? =0.05 m2-l ; c) от параметра ?, при ? =0.3 ml-k.

       Fig. 4.4. Схематичый рисунок,  показывающий возможные варианты эволюции поверхности раздела жидкостей, в случаях если вытеснение начинается с различных начальных размеров. R и - характерный и критический размеры, соответственно; ? и ? параметры, связанные с типом жидкости и скоростью вытеснение; ti – различные моменты времени.

Случай k<l, l<2.

В этом случае Eq.(3.14) будет иметь два корня и, как следствие, поведение фронта вытеснения будет достаточно необычным (см. Fig.4.5). По мере вытеснения и увеличения размера вытесняющей жидкости, слагаемые U и S  будут по абсолютной величине нелинейно уменьшаться с разными скоростями. В результате,  как показывает расчет, сначала всегда будет выполняться условие (3.18), затем (3.17) и наконец снова (3.18).

Решение (3.14) представляет собой «петлю» (Fig.4.5(a)). Внутри этой петли рост неустойчивый, а снаружи –  устойчивый. Как следствие при вытеснении с достаточно малых размеров, поверхность раздела будет вначале устойчивой, а затем с ростом области вытеснения будет терять устойчивость по гармонике соответсвующей моде с наменьшим критическим радиусом. Однако, если вытеснение начинать не c малых размеров, а с размера соответвующего верхней части петли (второй корень Eq. (3.14)), то граница будет всегда абсолютно устойчивой. Как было указано во введении  переход от одной формы границы раздела к другой часто рассматривают как морфологический неравновесный переход. Используя терминологию существующую в физике фазовых переходов, переход от устойчивой круглой формы к неустойчивой и снова к устойчивой круглой (Fig.4.5a) при последовательном увеличении начального размера с которого происходит вытеснение  можно назвать reentrant morphological phase transition.