Морфологическая устойчивость границы раздела двух неньютоновских жидкостей при движении в ячейке Хеле-Шоу (стр. 1 )

Морфологическая устойчивость границы раздела двух неньютоновских жидкостей при движении в ячейке Хеле-Шоу

,

Уральский Федеральный Университет, , Екатеринбург, 620002, Россия

Институт промышленной экологии УрО РАН, С. Ковалевской 20, Екатеринбург, 620219, Россия

e-mail: *****@***com

ABSTRACT

Рассмотрена задача о морфологической устойчивости фазовой границы при вытеснении в радиальной ячейке Хеле-Шоу одной неньютоновской жидкости другой. Обе жидкости описываются двухпараметрической Ostwald - de Waele power-law model. Впервые вязкостью вытесняющей жидкости не пренебрегается. Получены обобщенный закон Дарси для рассматриваемой системы и уравнение для определения критического размера морфологической устойчивости по отношению к гармоническим возмущениям (линейный анализ). Построены морфологические фазовые диаграммы и обнаружена область параметров, при которой в рассматриваемой системе возможны неравновесные возвратные морфологические переходы. 

PACS number(s): 47.15.gp, 47.20.Hw, 47.50.-d.

Введение

Неньютоновские жидкости представляют собой огромный класс жидкостей широко распространенных в природе. В число этих жидкостей входят некоторые биологические жидкости (например кровь, слюна, синовиальная жидкость), суспензии, эмульсии, пасты, растворы и расплавы полимеров, мыльные растворы, а также многие тяжелые нефти, мазут, глинистые и цементные растворы, etc. [1]. Исходя из приведенных примеров, очевиден огромный интерес к этим жидкостям как со стороны специалистов, связанных с различными промышленными технологиями (нефтяной, пищевой, строительной и т. п.), так и физиков, химиков и биологов. Важным и очень распространенным типом неньютоновских жидкостей являются жидкости, которые не имеют  ненулевого порога напряжения сдвига для начала движения и вязкость которых, не завися от времени, изменяется с изменением скорости сдвига. Эти нелинейно-вязкие жидкости обычно делятся на два класса так называемые разжижающиеся при сдвиге (их называют также псевдопластиками) и загустевающие при сдвиге (их еще называют дилатантными) [1-3]. Вязкость псевдопластиков уменьшается при увеличении скорости сдвига. Примерами их являются растворы и расплавы полимеров, эмульсии, суспензии или дисперсии, большинство жидкостей, используемых в пищевой промышленности (например, йогурты и концентраты фруктовых соков). Дилатантные жидкости, вязкость которых увеличивается при увеличении скорости сдвига, встречаются гораздо реже. Такой тип поведения демонстрируют суспензии с очень большой концентрацией твердой фазы. Типичный пример таких жидкостей – мокрый песок и концентрированные суспензии крахмала.

Одним из важных направлений исследований в гидродинамике неньютоновских жидкостей  является изучение возникновение и развитие неустойчивостей при течении жидкостей в различных средах. Наибольший интерес при экспериментальных и теоретических исследованиях вызывает неустойчивость Саффмана-Тейлора, которая возникает когда менее вязкая жидкость вытеснят более вязкую. В результате формируются пальцеобразные структуры на поверхности раздела этих жидкостей при переходе от устойчивой формы (преимущественно, плоской или круглой) к неустойчивой. Традиционно этот тип неустойчивости исследуется в ячейке Хеле-Шоу, представляющей собой две плоскопараллельные пластины, расположенные на малом расстоянии относительно друг друга. Течение в такой геометрии может считаться квазидвумерным, что существенно упрощает его теоретическое исследование. Рассматриваются два типа организации вытеснения: когда изначально прямая поверхность раздела движется в канале от одного торца прямоугольной ячейки к противоположному, и когда вытесняющая жидкость поступает из центра ячейки, изначально формируя круглую поверхность раздела.

Кратко остановимся на существующих исследованиях по вытеснению жидкостей в ячейке Хеле–Шоу.

Экспериментальное изучение неньютоновских жидкостей в ячейке Хеле-Шоу связано с исследованием влияния типа жидкости, параметров ячейки и скорости вытеснения на развитие потерявшей устойчивость границы раздела [4-14]. В этих исследованиях обнаружено, что в прямоугольной ячейке изначально плоский фронт поверхности раздела, превращается в процессе стационарного вытеснения в единичный палец, как и при вытеснении ньютоновской жидкости. Однако этот палец в случае неньтоновской жидкости становиться неустойчивым и расщепляется, ветвится, образуя фрактальные структуры [4,5]. При радиальном вытеснении также экспериментально обнаруживается существенно большее многообразие форм границы раздела [5, 7, 10–13] по сравнению с вытеснением ньютоновских жидкостей. Так если у последних жидкостей развитие неустойчивости в радиальной ячейке происходит в виде расщепления пальца, то в неньютоновских жидкостях морфология поверхности раздела при вытеснении может развиваться как в виде расщепления, так и в виде дендритных и нерегулярных структур, в зависимости от параметров вытеснения и вязко-эластичных свойств жидкостей [5, 9–14].

Теоретические исследования вытеснения неньютоновской жидкости в ячейке Хеле-Шоу начинаются с получения обобщенного закона Дарси на основе использования той или иной модели жидкости [15–23]. Подобный закон, усредняющий движение жидкости по толщине ячейки, и, как следствие, упрощающий аналитическое рассмотрение, позволяет далее провести линейный [15-21], либо слабонелинейный [22,23] морфологический анализ границы раздела между движущимися жидкостями. В результате этого анализа определяется наиболее быстро растущая мода (связанная с числом пальцев на уже неустойчивой поверхности), скорости роста неустойчивых мод, изучают взаимодействие неустойчивых мод между собой. Несмотря на относительно большое число работ, посвященных теории вытеснения неньютоновских жидкостей, хотелось бы  выделить два момента, которые  представляются важными, но до сих пор не исследованными.

В литературе отсутствует анализ влияния размера, с которого начинается вытеснение, на возникновение первых неустойчивостей на изначально круглой (в случае радиального вытеснения) границе раздела. Как показывают экспериментальное и теоретическое исследование ньютоновских жидкостей [24-27] это важнейший параметр, определяющий появление и развитие на границе того или иного возмущения. Здесь возможны два различных случая: вытеснение, начинающееся с самого минимально-возможного размера (т. е. с размера отверстия, в которое поступает вытесняющая жидкость) и вытеснение, начинающееся с достаточно большого размера, при котором несколько мод являются линейно неустойчивыми. В первом случае мода (вне зависимости от ее скорости роста) становящейся неустойчивой первой при вытеснении, является наиболее важной с точки зрения потери устойчивости фронта вытеснения. Во втором случае вытеснения,  наиболее быстро растущая мода является, очевидно, наиболее важной для последующей возникающей формы границы раздела фаз. 

2.        Во всех существующих теоретических работах [15-23] вытеснение неньютоновской жидкости рассматривается с помощью жидкости, вязкость которой считается пренебрежимо малой. Такое приближение делается в целях упрощения и без того сложных преобразований. Однако, как показано ранее в случае ньютоновских жидкостей [24,25, 28-31], вытеснение сравнимых по вязкости жидкостей приводит к интересным особенностям, касающимся потери устойчивости фронта вытеснения. Так, при вытеснении с минимально-возможного размера поверхности, потерю морфологической устойчивости  можно инициировать по любой моде возмущения при соответствующем выборе отношения вязкостей вытесняющей и вытесняемой жидкостей [24]. Поэтому представляется, что выбор в качестве вытесняющей жидкости  неньютоновской  жидкости с произвольной (не нулевой) вязкостью может привести к предсказанию новых интересных эффектов, которые ранее в литературе не обсуждались.

Исходя из вышеизложенного, целью настоящей работы является линейный анализ на  морфологическую устойчивость границы раздела между двумя нелинейно-вязкими жидкостями (одна из них вытесняет другую в ячейке Хеле-Шоу) без пренебрежения вязкостью вытесняющей жидкости и с учетом размера, с которого начинается процесс вытеснения.

       

2.  Закон Дарси при радиальном движении неньютоновской жидкости в ячейке Хеле-Шоу

Рассмотрим стационарное радиальное течение жидкости между двумя параллельными горизонтальными пластинами, расположенными на малом расстоянии относительно друг друга (течение в ячейке Хеле-Шоу) под действием радиального градиента давления.

В цилиндрической системе координат (r, ?,z) в отсутствие массовых сил три компоненты  уравнения движения запишутся в виде [1]:

,        (2.1)

,        (2.2)

,                (2.3)

где ? – плотность жидкости, - скорость течения жидкости в цилиндрических координатах, - компоненты полного тензора напряжений, которые в цилиндрических координатах имеют вид:

(2.4)

где p – давление в жидкости, - неньютоновская вязкость, которая является функцией  of shear rate , где– the rate-of-strain tensor  [1,2].

Простейшей, но в тоже время широко используемой и хорошо себя зарекомендовавшей моделью, описывающей поведение нелинейно-вязких жидкостей при  steady-state shearing flows, является двухпараметрическая степенная модель Оствальда - де Виля [1,2]1: