Зависимость Rs от ?, начинаясь с некоторого конечного значения (его  можно найти из Eq.(3.14)),  увеличивается с ростом параметра ?, а затем резко изгибается и достаточно  быстро приближается к оси Rs, стремясь к бесконечности при ? >0 (Fig.4.5(b)). До точки перегиба при вытеснении, начинающегося с достаточно малых значений R, потеря устойчивости всегда будет происходить по второй гармонике. Положение точки перегиба зависит от параметров жидкостей и параметров вытеснения.

Зависимость Rs от ? (Fig.4.5(c)) для каждой возмущающей моды начинает увеличивается c некоторого малого значения, а затем после  точки перегиба достигает значения, соответсвующего решениию Eq.(3.14) при ? =0. 

Варьируя значения ?, ? и начальный размер области вытеснения, можно добиться  устойчивости или неустойчивости границы по отношению к любым или вполне определенным модам возмущения (Fig.4.5(b, c)).

На Fig.4.6 схематично представлено возможное поведение фронта двух жидкостей в зависимости от начального размера с которого происходит вытеснние.  Reentrant morphological phase transition типа устойчивый – неустойчивый – устойчивый рост при постепенном увеличении размера с которого начинается вытеснение наиболее инетресная и необычная особенность обнаруженная при рассмотрении вытеснении неньютоновых жидкостей. 

       Fig. 4.5. Критический радиус  поверхности раздела при k=0.1 и l=0.6 в зависимости от: a) моды возмущающей гармоники n при ?=0.3 ml-k, ?=0.03 m2-l; b) параметра ?, при ?=0.03 m2-l.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

       Fig. 4.6. Схематичый рисунок,  показывающий возможные варианты эволюции поверхности раздела жидкостей, в случаях если вытеснение начинается с различных начальных размеров. R и - характерный и критический размеры, соответственно; ? и ? параметры, связанные с типом жидкости и скоростью вытеснение;  ti – различные моменты времени.

  4) Случай  k>l, l>2.

Этот случай в целом подобен предыдущему: область неустойчивости занимает конечную внутреннюю область (Fig.4.7) и возможен возвратный морфологический переход. Принципиальным отличием этого случая от предыдущего является то, что согласно полученным зависимостям Rs от ? и ?,  наименьшим критическим радиусом всегда будет обладать наибольшая из тех гармоник, которые присутствуют в рассматриваемой системе.

       Fig. 4.7. Критический радиус  поверхности раздела при k=4 и l=5 в зависимости от: a) моды возмущающей гармоники n при ? =0.4 ml-k, ? =0.002 m2-l; b) параметра ?, при ? =0.001 m2-l. При ? >0 в нижней части графика  Rs >0, а верхняя часть заканчивается в значении: ; c) параметра ?, при ?=0.3 ml-k. При ?>0 в нижней части графика Rs>0, а верхняя часть заканчивается в значении: .

5. Заключение

В работе проведен линейный анализ морфологической устойчивости границы раздела при  вытеснении одной жидкости с помощью другой в радиальной ячейке Хеле-Шоу. Жидкости рассматриваются несмешиваемыми и неньютоновскими (степенная модель Оствальда-де Виля). Подобное исследование проведено в работе впервые, ранее исследование вытеснения неньютоновской жидкости рассматривалось лишь ньютоновской жидкостью с пренебрежимо малой вязкостью. Полученное решение позволило обнаружить ряд  интересных закономерностей. Перечислив наиболее важные из них:

       1) Ранее в работах, пренебрегающими вязкостью вытесняющей жидкости, получалось, что потеря устойчивости границы всегда происходит по самой длинноволновой моде n=2. Как показано в данной работе в случае учета вязкостей обеих жидкостей, можно получить, что потеря устойчивости будет происходить по любой моде.

2) Ранее было получено, что при вытеснении из самого  центра ячейки Хеле-Шоу поверхность раздела всегда устойчива и сохраняла круглую форму вплоть до некоторого критического размера. Как обнаружено в данной работе если не пренебрегать вязкостью вытесняющей неньютоновской жидкости то в ряде случаев можно получить, что их поверхность раздела будет абсолютно неустойчивой с самого начала вытеснения.

3) В настоящей работе аналитически обнаружена область параметров модели при которых в рассматриваемой системе возможен возвратный морфологический переход. При этом переходе при постепенном увеличении радиуса, с которого начинается вытеснение в ячейке Хеле-Шоу, фазовая граница вначале имеет круглый вид, затем является морфологически не устойчивой по отношению к некоторой возмущающей гармонической моде и, наконец, начиная с некоторого размера, граница снова становиться круглой и морфологически устойчивой при росте. 

       

Appendix A

Кратко изложим метод решения задачи (3.2-3.8) в линейном порядке теории возмущения. Подставив условия непрерывности потока (3.4) в аналог закон Дарси (3.2),(3.3), получаем уравнения для давления в жидкостях:

,                                        (A1)

,                                        (A2)

В граничных условиях (3.5-3.6) учитываем, что:

,

где , , .

Давление представлялось в виде ряда по степеням возмущения : . В результате с точностью до первого порядка по можно записать:

,

где .

После подстановки полученных выше разложений в уравнения (A1) и (A2) и в граничные условия (3.5-3.8), каждое слагаемое раскладывалось в ряд Тейлора по вблизи , и приравнивались коэффициенты при соответствующих степенях . Получали две системы уравнений – для нулевого и первого порядка малости.

В нулевом порядке малости:

с граничными условиями:

В первом порядке малости уравнения имеют вид:

с граничными условиями

Решив эти две системы уравнений, получаем, что давление в жидкостях определяется следующими соотношениями:

где

.

Теперь, определив давление в жидкостях, воспользуемся формулой (3.3), чтобы получить скорость движения вытесняемой жидкости на границе:

.                (A3)

Подставив найденное выше давление в (А3), получаем:

.        (А4)

Appendix B

Согласно Eq. (3.14), для ряда частных случаев (либо k=l, либо при l=2) критический радиус морфологической устойчивости может быть найден аналитически либо обладать особым поведением. Рассмотрим их.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6