Методика решения текстовых задач в 5-11 классах (стр. 15 )

Группы изучаемых величин в школьном курсе математики:

№п/п	Наименование процесса	Название величин, определяющих этот процесс	Обозначение величин	Формулы, определяющие зависимость между величинами
1	Передвижение тела с постоянной скоростью	Путь
Скорость	Ѵ
Время	t
2	Передвижение по течению реки на катере, моторной лодке  и т. п.	Путь по течению	sпо теч	sпо теч = Ѵпо теч·tпо теч
Скорость по течению	Ѵпо теч	Ѵпо теч = Ѵсоб + Ѵр
Время по течению	tпо теч	tпо теч = sпо теч : Ѵпо теч
Скорость течения реки	Ѵр	Ѵр = ( Ѵпо теч - Ѵпр теч) : 2
Собственная скорость	Ѵсоб	Ѵсоб = ( Ѵпо теч + Ѵпр теч) : 2
Путь против течения	sпр теч	sпр теч = Ѵпр. теч·tпр. теч
Скорость против течения	Ѵпр теч	Ѵпр теч = Ѵсоб - Ѵр
Время против течения	tпр теч	tпр теч = sпр теч : Ѵпр. теч
3	Выполнение  работы кем-либо или чем-либо	Объём работы	А	А = Пр ·t
Производительность	Пр
Время выполнения работы	t
4	Выполнение совместной работы двумя механизмами или двумя людьми	Совместная работа	Асов	Асов = А1+ А2 = Прсов · tсов
Совместная произв-сть	Прсов	Прсов = Пр1 + Пр2 =
Совместное время работы	tсов	tсов = Асов : Прсов
Работа 1-го	А1	А1 = Пр1 · t1
Производительность 1-го	Пр1
Время 1-го	t1
Работа 2-го	А2	А2 = Пр2 · t2
Производительность 2-го	Пр2
Время 2-го	t2

№п/п	Наименование процесса	Название величин, определяющих этот процесс	Обозначение величин	Формулы, определяющие зависимость между величинами
5	Передвижение со средней скоростью, которую необходимо отыскать в задаче	Общий путь	sобщ	sобщ = s1 + s2 +s3
Время, затраченное на весь путь	tобщ	tобщ = t1 + t2 + t3
Средняя скорость	Ѵср	Ѵср = sобщ : tобщ
Длина 1-го участка пути	s1	s1 = Ѵ1 · t1
Время, затраченное на прохождение 1-го участка	t1	t1 = s1 : Ѵ1
Длина 2-го участка пути	s2	Может быть известна
Время, затраченное на прохождение 2-го участка	t2	Возможно, надо найти, если не известно.
Длина 3-го участка пути	s3	Очень часто предлагается как остальной путь при определенной скорости Ѵ3
Время, затраченное на прохождение 3-го участка	t3	t3 = s3 : Ѵ3
6	Покупка штучного товара на складе, в магазине, у частного лица	Стоимость всего товара	У
Цена  товара за штуку	Ц	У = Ц · n
Количество штучного товара	n
7	Покупка товара по массе	Стоимость всего товара	У	У = Ц · m
Цена единицы массы товара	Ц
Масса купленного товара	m
8	Сплавление нескольких элементов или веществ	Масса сплава  из двух веществ	mспл	mспл = m1 + m2
Масса 1-го сплавляемого вещества	m1	Чаще всего количество сплавляемого вещества дана в процентах от величины сплава
Масса 2-го сплавляемого вещества	m2

№п/п	Наименование процесса	Название величин, определяющих этот процесс	Обозначение величин	Формулы, определяющие зависимость между величинами
9	Процесс растворения одного вещества в какой-либо жидкости, чаще всего в воде.	Масса раствора	mр-ра	mр-ра = mHCl + mH2O
Масса растворенного вещества (cоляной к-ты)	mHCl	Чаще всего количество растворяемых веществ дано в процентах
Масса растворителя (воды)	mH2O
Процентное содержание растворённого вещества в растворе	mр-ра mHCl	При условии, что полученное отношение есть число л, то процентное содержание вещества в растворе равно 100л%
10	Процесс  уборки урожая, нахождение средней урожайности с нескольких полей на примере двух полей	Валовый сбор зерна с 1-го поля	M1	M1 = m1· S1
Урожайность с 1 га первого поля	m1
Площадь 1-го поля	S1
Валовый сбор зерна со 2-го поля	M2
Урожайность с 1 га второго  поля	m2	M2 = m2· S2
Площадь 2-го поля	S2
Валовый сбор с двух полей	Mобщ	M1 + M2	mср = Mобщ :  Sобщ
Средняя урожайность с двух полей	mср	m1 + m2
Общая площадь двух полей	Sобщ	S1 + S2
11	Процесс высушивания продуктов: фруктов, ягод, трав, мяса, рыбы и т. п.	Масса сырого продукта	mсыр	mсыр = mсух + mH2O
Масса сухого вещества в продукте	mсух	Сухое вещество – это то, что остается в продукте после полного удаления воды из него
Масса воды в продукте	mH2O	Вода из сырого продукта удаляется во время сушки
Процентное содержание воды в продукте	P%	mH2O : mсыр = л1 = = (100л1)% =p%
Выход продукта после полной усушки в процентах	k%	mсух : mсыр = л2 = = (100л2)% = k%

№п/п	Наименование процесса	Название величин, определяющих этот процесс	Обозначение величин	Формулы, определяющие зависимость между величинами
12	Процесс вложения денег в банк	Первоначальный банковский вклад	У0	Заключается договор с банком, открывается счет на вкладчика и выдается сберегательная книжка или кредитная карта
Процентная ставка за определенный период вложенных денег	P%	Периодами вложения чаще всего бывают год, полугодие, квартал, несколько месяцев, несколько лет. Процентная савка начисляется по истечении периода вложения.
Количество прошедших периодов вложения денежных средств	n	Это может быть только натуральное число.
Сумма на счету вкладчика после истечения первого периода	У1	У1 = У0 · (1 + P%) = = У0 · (1 + )
Сумма на счету вкладчика после истечения второго периода	У2	У2 = У0 · (1 + P%)2 = = У0 · (1 +  )2
Сумма на счету вкладчика после истечения n-го периода	Уn	Уn = У0 · (1 + P%)n = = У0 · (1 + )n
Прибыль за первый период вложения	У1 - У0	У1 - У0 = У0·P% = У0·
Прибыль за два периода вложения	У2 - У0	У0 · (1 + )2 - У0
Прибыль за  n  периодов вложения	Уn - У0	У0 · (1 + )n - У0

№п/п	Наименование процесса	Название величин, определяющих этот процесс	Обозначение величин	Формулы, определяющие зависимость между величинами
13	Процесс заимствования денег в банках	Сумма взятого кредита (тело кредита)	У0	Чтобы получить кредит необходимо подтвердить свою возможность  возврата денег, иметь поручителей, которые несут такую же ответственность за возврат денег, как и сам заемщик. Данная сумма зависит от платежеспособности  заемщика, которая в свою очередь зависит от  его дохода и установленных банком специальных коэффициентов
Процентная ставка по кредиту	P%	Исчисляется, как правило, в р% годовых
Комиссия за выдачу кредита	У0k	Это та сумма денег, которую надо заплатить банку при получении денег и исчисляется  произведением У0·k%, где k% есть определенный банком фиксированный процент за получение кредита. Взимается только один раз при получении кредита. В сбербанке в настоящее время при получении потребительского кредита  она отменена.
Срок кредитования	n мес.
Ежемесячный платеж по кредиту (определяется графиком к договору)	Умес	Умес = У 0мес + У%
Основной платёж ( без учета процентов)	У 0мес	У 0мес = У0 : n
Сумма проплачиваемых процентов за кредит(проценты)	У%	У% = ( Уост : 365)·p%·n2, где n2 – количество дней между платежами
Остаток по кредиту	Уост	Уост = У0 - У 0мес·n1, где n1- период предыдущей выплаты
Пени,  затем неустойка (через суд)	Упеней	Процентная ставка за просроченную сумму выплат увеличивается в два раза, т. е. составит 2p% годовых.

Задачи для самостоятельного решения:

Из «Арифметики» . Некто оставил в наследство жене, дочери и трём сыновьям 48000 рублей и завещал жене    всей суммы, а каждому из сыновей вдвое больше, чем дочери. Сколько досталось каждому из наследников? (ответ: жене и дочери  - по  6000 р, сыновьям  - по  12000 р.) Один писарь в  может написать    листа, другой в    –    листа, третий  в –    листа. Сколько получат все три писаря за  1 ч  работы, если с каждого листа им платят  р.? (ответ:  1,3  р.) Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней;  вторая и третья бригады  – за 18 дней;  первая и третья бригады  –  за 12 дней.  За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе? (ответ:  за 8 дней) Из «Всеобщей арифметики»  И. Ньютона.  Трое рабочих  могут выполнить некоторую работу, при этом  А может выполнить  её один раз за  3 недели,  В  – три раза  за  8 недель,  С  –  пять раз  за 12 недель. Спрашивается, за какое время они смогут выполнить эту работу все вместе? ( Считайте, что в неделе  6 рабочих дней  по 12 часов ). Маша и Настя могут вымыть окно за 20 мин. Настя и Лена Могут вымыть  это же окно за 15 мин., а Маша и Лена – за 12 мин. За какое время девочки вымоют окно, работая втроём? Ответ дать в минутах. (Ответ: 10 мин) Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 8 часов. Через 2 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился  второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. За сколько часов был выполнен весь заказ? ( Ответ: 5 часов) Том Сойер может окрасить половину забора  за 4 часа 30 минут. На сколько процентов производительность работы Гекльбери Финна выше, если две трети забора он окрасил за 2 часа? (Ответ на 200%)
Два фермера, работая вместе, могут вспахать поле за 25 часов. Производительности труда первого и второго фермеров относятся как  2:5. Фермеры планируют  работать поочередно. Сколько времени должен проработать второй фермер, чтобы это поле было вспахано за 45,5 часа? (Ответ: 28 ч) Объём ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей скважины относятся как 7: 6 : 5. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 4%, а из второй – на 2%.  На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился? ( Ответ: на 8% ) Три бригады вспахали  два поля общей площадью 96  га.  Первое поле было вспахано за 3 дня, причём все три бригады работали вместе.  Второе поле было вспахано за  6  дней второй и третьей бригадами.  Если бы все три бригады проработали на втором поле  1 день, то оставшуюся часть второго поля  первая бригада  могла вспахать  за 8 дней.  Сколько  гектаров в день  вспахивает первая бригада?  (Ответ:  5  га) Три сенокосилки  участвовали в покосе травы с поля площадью  25  га. За час  первая  сенокосилка  скашивает  3  га, вторая – на  b  га  меньше первой, а третья  –  на  2b  га  больше первой. Сначала работали  одновременно  первая  и вторая  сенокосилки  и скосили  11  га,  а затем  оставшуюся  часть площади  скосили, работая  одновременно, первая и третья  сенокосилки.  Определите значение  b (0 при котором  все поле скошено за  4  часа, если работа велась без перерыва.  (Ответ:  0,5 ) Подарочный набор состоит из трех сортов конфет. Массы конфет первого, второго и третьего сорта в этом наборе относятся как 1 : 2 : 8.  Массу конфет первого сорта увеличили на 20%, а второго – на 6%. На сколько процентов надо уменьшить массу конфет третьего сорта, чтобы масса всего набора не изменилась? (Ответ: 4%)

Даже когда верблюд Дезире хочет пить, 84% его веса составляет вода. После того как он напьется воды, его вес станет равным 800  кг, а вода будет составлять 85% его веса.  Сколько весит Дезире, когда испытывает жажду? (Ответ: 750 кг). В двух банках в конце года на каждый счёт начисляется прибыль: в первом банке – 60% к текущей сумме на счёте, во втором – 40% к текущей сумме на счёте. Вкладчик в начале года часть имеющихся у него денег положил в первый банк, а остальные деньги  – во второй банк с таким расчетом, чтобы через два года суммарное количество денег на обоих счетах удвоилось. (Ответ:  ) Стоимость товара была на 25% повышена, причём  40% новой стоимости составили 12 рублей. Чему равна первоначальная стоимость товара? (Ответ: 24 р.) Сколько сейчас времени, если оставшаяся часть суток равна  60% истекшей части? (Ответ:  15 ч) Маляр и его ученик получили за работу 13440 р.  Маляр работал 10 дней, а ученик только  60% этого времени. Сколько денег заработал каждый, если дневной заработок маляра на  32% больше, чем у его ученика? (Ответ:  9240 р. и  4200 р.) Цену товара дважды повышали: первый раз на p%, затем новую цену повысили на  (p +5)%.  После этого цену товара снизили на 20%. В итоге окончательная цена оказалась выше первоначальной на 20%. На сколько  процентов была повышена цена товара во второй раз?. (Ответ: 25%) После покупки пакета акций, владелец разделил его на две неравные части. Акции первой части он продал на 10%, а акции второй – на 20% дороже их первоначальной цены. В результате его прибыль составила 13%. Сколько процентов всех акций составила первая часть пакета? (Ответ: 36%) После санитарной обработки на базе отдыха количество мух уменьшилось на 9%, а количество комаров  – на 4%. В целом количество насекомых уменьшилось на 5%. Сколько процентов от общего числа насекомых составляли комары? (Ответ: 80% ) Три заводские бригады изготовили 366 станков, причем вторая бригада изготовила на 15% меньше, чем первая, а третья – на 20% больше, чем  первая. Сколько станков изготовила первая бригада? (Ответ:  120 станков). Два клуба решили купить 4 баяна и 3 аккордеона на сумму 1470 р. После снижения цен на баяны на 20%, а на аккордеоны на 30% за эту же покупку уплатили 1101 р. Найти старую цену аккордеона. (Ответ: 250 р.) Предприниматель положил в коммерческий банк некоторую сумму денег под фиксированный процент годового дохода (более 60%). За первые два года сумма вклада возросла на 300 тыс. р., а к концу третьего года составила 800 тыс. р..Определите сумму исходного вклада.(Ответ: 100 тыс. р.) Руда  содержит  66 % железа.  Сколько потребуется руды для получения 2 т железа? (Ответ: 3 т) Сколько нужно взять  воды,  чтобы из 200 г соли приготовить  5%-ный  раствор?  (Ответ: 3,8 кг) В колбе содержится 57%-ный водный раствор соли. После выпаривания 25  г воды раствор стал  76%-ным. Сколько надо ещё выпарить воды, чтобы содержание соли в колбе стало равным 95%? (Ответ:  15  г). Кофе теряет при жарении 12% своей массы.  Сколько свежего кофе надо взять, чтобы получить 14  кг  жареного кофе? На заводе 20% всех  станков были переведены на повышенную скорость, благодаря чему производительность станка повысилась на 80%. На сколько процентов повысился выпуск продукции? (Ответ:16%)
Цены на компьютерную технику в среднем понижались за год дважды на 10%. На сколько процентов понизились цены на компьютерную технику за год? (Ответ: 19%) Определите первоначальную стоимость продукта, если после подорожания на 120%, 200%  и  на 100% его конечная стоимость составила 264 р. (Ответ: 20 р.)
Сколько нужно  взять 10%-го  и  30%-го растворов марганцовки, чтобы получить  200 г 16%-го  раствора марганцовки? (Ответ:  140 г  10%-го  и 60  г  30%-го.)
Первый раствор содержит 20%, а второй 60% азотной кислоты. Из них приготовили две смеси. Для приготовления смесей взяли  две одинаковые порции второго раствора и добавили к ним 15  кг  и 5  кг  первого раствора  соответственно. Какова масса порции второго раствора, если известно, что доля воды во второй смеси в два раза больше  доли кислоты  в первой? (Ответ: 5  кг)

Имеется три сплава.  Первый сплав содержит 30%  никеля  и  70% меди,  второй – 10%  меди  и 90%  марганца,  третий  –  15% никеля,  25%  меди  и  60%  марганца.  Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий  40% марганца. Какое  наименьшее  процентное содержание меди может быть в этом  новом сплаве? (Ответ:  40%).
Среди учащихся  старших классов провели опрос: кто любит волейбол, а кто  баскетбол.  Оказалось, что 52 % любителей волейбола любят и баскетбол, а  65% любителей баскетбола любят и волейбол. Зато  36%  всех опрошенных не любят ни волейбол, ни баскетбол. Сколько процентов опрошенных любят только одну игру, но не любят другую? (Ответ:38%). Старинная задача (Китай,  ЙЙ  в.).  Дикая утка от южного моря до северного моря летит  7  дней.  Дикий гусь от северного моря до южного моря летит  9  дней.  Однажды дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно.  Через сколько дней они встретятся? (ответ:  через Собаке нужно 15 секунд, чтобы догнать бегущую кошку, до которой сейчас  10  м.  Кошке нужно 2 секунды, чтобы догнать бегущую мышку, до которой сейчас 6 м.  Сколько времени нужно собаке, если побежит догонять мышку, до которой  сейчас  5,5 м? (Ответ: 1,5 с)
Пароход должен пройти 72 км с определенной скоростью. Первую половину пути он шел со скоростью  на 3 км/ч меньшей, а вторую  – на 3 км/ч большей, чем было запланировано.  На весь путь пароход затратил 5 ч.  На сколько минут запоздал пароход? (Ответ: 12 минут) Из города  А  в город  В, расстояние между которыми 10 км, отправился пешеход.  Через 30 минут после него из  А в В отправился велосипедист, обогнав пешехода и доехав до города  В, возвратился обратно  в А и приехал туда в тот момент, когда пешеход пришел в город  В. Определите скорость пешехода. (Ответ: 4 км/ч) Поезд был задержан у семафора  на 16 минут и ликвидировал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью на 10 км/ч большей. Какова скорость поезда по расписанию? (Ответ: 60 км/ч) Населенные пункты  А  и  В, расположены на берегу реки, текущей со скоростью 4 км/ч. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна  8 км/ч, проплыв  из пункта  А в пункт  В, мгновенно  разворачивается и вновь  возвращается в пункт  А.  С какой постоянной скоростью должна плыть лодка по озеру, чтобы за то же время она смогла бы проплыть такое же расстояние? (Ответ: 6 км/ч) Пассажир поезда знает, что на данном участке пути скорость этого поезда  40 км/ч.  Как только мимо окна начал проходить встречный поезд, пассажир пустил секундомер и заметил, что встречный поезд проходил мимо окна в течение  3 секунд. Определите скорость встречного поезда, если известно, что его длина 75 м. (Ответ: 50 км/ч) Лодка может проплыть 18  км  по течению реки  и ещё  2 км против течения за то же время, какое требуется плоту, чтобы проплыть  8 км по этой реке.  Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки 8 км/ч. Ответ: 4 км/ч) За 7 часов катер прошел 60 км по течению реки и 64 км против течения. В другой раз катер прошел за 7 часов  80 км по течению реки и 48 км против течения. Определите собственную скорость катера и скорость течения реки.(Ответ: 18 км/ч и 2 км/ч) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из  пунктов  М  и N,  расстояние между которыми 45 км. Встретившись через  1,5 ч, они продолжили свой путь с той же скоростью, и первый прибыл в N  на 2 ч 15 мин раньше, чем второй. Найдите скорости велосипедистов. (Ответ: 10 км/ч ; 20 км/ч) Из пункта А по одному и тому же маршруту одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость легкового автомобиля постоянна и составляет  скорости грузовика.  Через 30 мин  за ними из того же пункта выехал мотоциклист со скоростью 90 км/ч.  Найдите скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на час  раньше, чем легковой автомобиль. (Ответ:72 км/ч)

Литература

Белоненко, конкурсных задач по математике. / , . –  2-е изд. – СПб: СМИО Пресс, 2006. Боровских, А. В. О бедном проценте замолвите слово…, статья  /  , , стр.3 -15 в  журнале  «Математика в школе», № 3, 2010. Габриелян, 8 кл. /  . – 12-е изд, стереотипное – М.: Дрофа, 2007. Габриелян, 9 кл. /  . – 12-е изд, стереотипное – М.: Дрофа, 2007. Белоненко, конкурсных задач по математике. / , . –  2-е изд. – СПб: СМИО Пресс, 2006.   Математика. 6 кл.  / , , . – М.: Мнемозина, 2003. Математика. 5 кл.  /  , . – М.: Мнемозина, 2008. Математика 5, самостоятельные работы.  /  , , .  – М.: Мнемозина, 2009. Математика 6, самостоятельные работы.  /  , , . – М.: Мнемозина, 2008. Звавич, для проверки письменного экзамена по математике в 9 классе.  /  , , . – М.: Просвещение, 1994. Ковалева, . Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами / , , . – Волгоград: Учитель, 2008. Колягин, 6 кл., часть Й / , , . – М., 2003. Колягин, 6 кл., часть ЙЙ / , , . – М., 2003. Олимпиадные задания по математике. 5-6 классы / М34 авт.-сост. Ю. В, Лепёхин. – Волгоград: Учитель, 2010. Алгебра 9, учебник для школ и классов  с углубленным изучением математики. / , , . –  М.: Мнемозина, 2006 Алгебра 8, дополнительные главы к школьному учебнику. / , . – М.: Просвещение, 2004. Алгебра 9, дополнительные главы к школьному учебнику. / , . – М.: Просвещение, 2004. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе», 2010, № 3 Задачи вступительных экзаменов по математике. / , , . – М.: Наука, 1986. Никольский, 5. / , , . –  М.: Просвещение, 2005. Никольский, 6. / , , . –  М.: Просвещение, 2006 Задачи с газетной полосы, статья. / , стр. 13-19  в журнале «Математика в школе», №6, 2009. адачи на смеси и сплавы. /  Библиотечка «Первого сентября» серия «Математика», выпуск 31. – М.: Чистые пруды, 2010. Пономарёв, задач и упражнений по арифметике для 5-6 классов. / , . – М.: Учпедгиз,1961. Шарыгин, задач, учебное пособие для 10 класса общеобразовательных учреждений. / Шарыгин. И. Ф. – М.: Просвещение, 1994. Математика. 6 кл.  /  , . – М.: Мнемозина, 2008.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………………………….  2

Задачи на выполнение работы…………………………………………………………………………..  9

Задачи на сухопутное движение и движение по реке………………………………………  15

Задачи на сравнение величин …………………………………………………………………………..  20

Задача на покупку………………………………………………………………………………………………. 21

Задача на изменение результата арифметических действий 

при изменении их компонентов………………………………………………………………………………………………………. 23

Изучение понятия процента в школе на уроках математики и его прикладное значение………………………………………………………………………………………………………………24

Химические задачи с применением понятия процента……………………………………  31

Понятия варианты и эталона при введении понятия процента……………………….  35

Задачи о банковских вкладах……………………………………………………………………………. 40

Задачи на процентное изменение цены товара………………………………………………. 43

Задачи на процентное изменение величин……………………………………………………… 48

Задачи на смеси…………………………………………………………………………………………………. 50

Задачи на потерю веса………………………………………………………………………………………. 52

Задача о пробах благородных металлов………………………………………………………….  55

Конкурсные задачи……………………………………………………………………………………………  57

Задачи на обгон…………………………………………………………………………………………………  61

Приложение «Вариант оформления текстовых задач»……………………………  65

Приложение «Единицы длины, массы, времени и объёма»…………………..  66

Приложение « Группы изучаемых величин в курсе математики»…………..  68

Задачи для самостоятельного решения…………………………………………………………..  73

Литература…………………………………………………………………………………………………………  79

1 Нумерация задач принята своя для данного пособия

2 Смотри в приложении № 1