Методика решения текстовых задач в 5-11 классах (стр. 2 )

  Если изменяются условия выполнения работы, то использую различные вариации обозначений. Так, в предложенной задаче процесс покраски первым маляром 100м2 стены я уже обозначаю символами: В1, Пр1, 1  , причем производительность первого маляра не изменилась, поэтому она вновь обозначается символом Пр1. Очень важным является выбор единиц измерения величин, рассматриваемых в задаче. Об этом выборе надо подумать сразу. Очень часто время выполнения работы приводится в часах для одной ее части, а при выполнении другой части работы уже в минутах. Производительность при этом также будет записана соответствующим образом: м2/ч; га/ч;  частей/ч, причем в частях за определенное время, как правило, обозначается в том  случае, если вся работа обозначается за «единицу». Этот момент обозначения производительности в частях за единицу времени необходимо дополнительно прорабатывать  с учениками, лишний раз заострять на этом внимание.

Сравнение величин обозначаю «стрелками». Перед условным обозначением величины, значение которой надо отыскать в задаче, кроме знака вопроса («?»), проставляемого справа от ее символа, проставляю знак вопроса («?»)  и слева.

Зависимости между величинами, которые для определенного типа  задач, являются общеизвестным фактом также желательно записать в «анализе условия задачи». Для задач с процессом выполнения работы таковыми зависимостями, например,  будут: Прсов=Пр1 + Пр2, а для процесса передвижения по реке, например, следующие зависимости:

Ѵ по теч =Ѵсоб + Ѵр;  Ѵ пр. теч =Ѵсоб - Ѵр;

Ѵр  = (Ѵ по теч – Ѵ пр. теч) : 2;  Ѵсоб = (Ѵ по теч + Ѵ пр. теч) : 2

Анализ условия задачи, оформленный таким образом, обычно занимает левую часть страницы тетради. Справа же при этом остается достаточно места для введения переменной и выражения неизвестных величин через введенные переменные. При этом возможно выполнение необходимых действий. Так в предложенной задаче при нахождении производительности второго маляра (Пр2) нахожу отношение проделанной работы (А2) ко времени ее выполнения (t2), записывая в соответствующей строке следующее: 

90 : .

При введении переменных желательно указать, если это возможно, их границы в соответствии с условием задачи (t > 0, 0 < a < 40, a < в < 40). На этапе перехода к составлению уравнения или системы уравнений  использую известные факты или те зависимости между величинами, которые не использовались при выражении неизвестных величин через введенные переменные, причем данное обоснование желательно записать.

Проверку решения задачи при таком  способе оформления ее решения провожу устно.

Если за переменную  обозначил не ту величину, которую надо найти в задаче, то после решения уравнения или системы уравнений выполняю необходимые действия, пронумеровав их в определенной последовательности. Существенным на этом этапе решения является, что найденные значения величин, прописываются с наименованиями.

Ответ к задаче, решение которой  оформляется с использованием символики,  желательно записывать  подробно.  Необходимо постоянно напоминать детям, что прежде, чем записать ответ  надо дополнительно прочитать условие задачи для того, чтобы ответить именно на тот вопрос, что в ней задан. Это особенно важно при современной проверке знаний учащихся в форме тестирования: записал не тот ответ – и задача считается не решенной, хотя в процессе её решения мог дойти почти до самого окончания решения.  Издержки тестирования будут  высвечиваться очень часто, в чем неоднократно будем  убеждаться при пристальном анализе его применения. 

         У моих учеников, применяющих предложенный мной алгоритм решения и оформления текстовых задач, в тетради при решении задачи №1 появилась бы следующая запись, которая приведена на последующей странице. 

Прошу ещё раз обратить внимание на запись:

«?  1  ?  ч».

В ней знаки вопроса проставлены после обозначения времени выполнения работы первым маляром и после этого обозначения. Этим всегда подчеркивается факт главного, основного вопроса задачи.

А сов  40 м2 Пр. сов. =Пр1+Пр2  ? м2/ч t сов.  1 ч	40 40 или 1
А1  50 м2 Пр1  ?  t1  ?  ч	50 50:
А2  90м2 Пр2  ? м2 t2  ?  на 4 ч б., чем	90 90 :
1  100 м2   Пр1  ? м2/ч ?  1  ?  ч  t 0	100
Так как  Прсов. = Пр1 + Пр2 ,  то  составляем уравнение:

,

t2 + t – 20=0,

t=4, ибо t>0.

Ответ:  Первый маляр покрасит 100 м2 стены за 4 часа.

Чтобы понять и правильно применять предлагаемый алгоритм решения,  применим его для  решения различных задач, как  простых, так и сложных.

Задачи на выполнение работы. Задача №2 (Виленкин, 6 класс, № 000, стр. 111) «Использование нового трактора для вспашки поля дало экономию времени в 70% и заняло 42  ч. Сколько времени потребовалось бы для выполнения этой работы  на старом тракторе?» Решение:   S0  ?   Пр0  ?  ? t0  ?  х  ч    S1= S0  ?   Пр1> Пр0   t1  ?  на 70%  меньше, чем  или  42  ч,  или  30%  от  0,3 х  ч Получаем очевидное уравнение:  0,3х = 42, х = 42: 0,3, х = 140 Ответ: на выполнение работы на старом тракторе ушло 140 ч. Замечания:  1. Обозначения таких величин как производительность тракторов и площадь вспашки (работа) можно было не вводить: они не использовались в решении. С другой стороны для 6-классников немаловажно лишний раз повторить, что при выполнении работы имеем дело именно с таковыми тройками взаимосвязанных величин.  Неравенство  Пр1> Пр0 подчеркивает, что производительность нового трактора увеличилась, а равенство  S1= S0  обозначает тот факт условия задачи, что площадь вспашки не менялась. 2.  Данная задача легко решается арифметическим способом. Достаточно  выполнить одно действие: 42:30% = 42:0,3 = 140 (ч). Задача №3 ( из сборника заданий для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе  , из его 2-ой части для профильных классов, № 2.641, стр. 91 ): « Три каменщика (разной квалификации) выложили кирпичную стену, причем первый каменщик работал 6 ч, второй – 4 ч, третий – 7 ч. Если бы первый каменщик работал 4 ч, второй – 2 ч, третий – 5 ч, то было бы выполнено всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали все вместе одно и то же время? » Решение:   А  ?  1   Прсов.  ?  х +у +z ?  tcов.  ?  1 : (х + у +z) А1  ?  6х  А2  ?  4у  А3  ?  7z  Пр1 ?  х  Пр2 ?  у  Пр3  ?  z t1  6 ч  t2  4 ч  t3  7 ч А4  ?  4x  А5  ?  2у  А6  ?  5z  Пр1 ?  х  Пр2 ?  у  Пр3  ?  z t1  4 ч  t2  2 ч  t3  5 ч  А1  +  А2  +  А3 = 1,  т. е.,  6х + 4у + 7z = 1 А4 + А5 + А6 = А =   4х + 2у + 5z =  Очевидно, что математической моделью данной задачи будет система уравнений:   , т. е.  ,  тогда получим,  что  tcов. = 1 : = 6( ч) Ответ:  каменщики закончили бы кладку за 6 часов совместной работы. Задача №4 «Два  каменщика,  работая  вместе,  могут  выполнить  задание  за  12  ч.  Производительности  труда  первого  и второго  каменщиков  относятся  как  1: 3.  Каменщики  договорились  работать  поочерёдно.  Сколько  времени  должен  проработать  первый  каменщик,  чтобы  это  задание  было  выполнено  за  20  ч?» Решение: Асов.= Апл  ?  1 Прсов.  ?  1/12  или  + 3 tсов.  12 ч   А1  ?  t   Пр1  ?  (частей/ч) ?  t1.  ?  t ч,  где t   А2  ?  (20 - t)·3   Пр2  ?  3   t2.  ?  20-t А1 + А2 = Апл  или    Пр1 : Пр2 = 1: 3   t1 + t2 =20 ч.  Получаем очевидную систему двух уравнений: то есть получим, что  t = 6. Ответ:  первый каменщик должен проработать 6 часов. Задача №5 ( задача № 000* из учебника Алгебра для 9 класса для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики, Просвещение, 2004) «Бассейн наполняется водой  из двух кранов. Сначала был открыт только первый кран на одну треть того времени, которое потребовалось бы для наполнения бассейна лишь вторым краном.  Затем был открыт только второй кран на одну треть того времени, которое потребовалось бы для наполнения бассейна лишь первым краном.  В результате оказалось наполненным 13/18 бассейна. За какое время каждый кран в отдельности наполнит его, если оба крана наполняют бассейн за 3 ч 36 мин?» Решение: А  ?  1 Прсов.  ?  1 : 18/5 = 5/18  или  tсов.  3 ч 36 мин =   А  ?  1   Пр1  ?    ? t1  ?    А  ?  1   Пр2  ?  ?  t2  ?  А1  ?  Пр1  ?  t01  ?  1/3 от  А2  ?  Пр2  ?  t02  ?  1/3  от  А1 + А2 =  от  Приравнивая найденные по отдельности значения совместной производительности двух кранов и  величину выполненной работы при заполнении бассейна двумя кранами при открытии их поочередно, получим систему уравнений: Пусть тогда получим:    ⇔   ⇔  ⇔   ибо , так как .   Получаем систему, равносильную первоначальной системе    ,  из которой легко получаем, что     Так как по условию задачи принять за первый кран можно любой из них, то получаем следующий ответ. Ответ:  9 ч и 6 ч Замечания: 1) Предлагаю просмотреть ту часть решения, которую я называю анализом условия задачи, то есть  то, что появляется у учеников в тетради до введения переменных.  В рассмотренной задаче говорится о 16 величинах, 15 из которых объединены в 5 групп по три величины в каждой. В каждой группе зависимость между компонентами одна и та же, то есть произведение производительности объекта на время его работы есть определенный объем работы.  14 величин из 16  неизвестны, то есть  большинство из них.  Это один из признаков, что необходимо вводить несколько переменных. В этом случае математической моделью рассматриваемой ситуации в задаче будет система уравнений. Кроме всего прочего при отсутствии в задачах конкретного значения  работы, её величина принимается за  1 или за другое удобное для решения число. 2) Рассматриваемая  в ходе решения система уравнений симметрическая, поэтому применяется  удобная для решения таких систем подстановка: Задача №6 (из сборника задач и упражнений по математике для 5-го класса авторов и , «Мнемозина», 2009 г.) «С двух полей общей площадью 149 га собрали пшеницу. Причем на обоих полях урожайность составила 21 ц с 1 га. Определите площадь каждого поля, если с одного поля собрали на 147 ц пшеницы больше, чем с другого.» Решение: Мвал.  ? m0  21 Sобщ  149 га М 1вал  ?  на 147 ц  б., чем  m1  21   ?  S1  ?  М 2вал  ?  m2  21   ? S2  ?    Так как  с первого поля собрали на 147 ц пшеницы, чем со второго, то составляем уравнение: ,   2)  149 – 78 = 71 (га). Ответ:  Площадь полей  78 га и 71 га. Замечания:    1. Разобрать данную задачу желательно, ибо с такими величинами, как валовый сбор зерна (Мвал  М 1вал,  М 2вал ), урожайность с единицы площади (m0, m1, m2) и площадь уборки (  Sобщ, S1, S2 ) учащиеся чаще всего запутываются в силу малого житейского опыта.  Надо понять, что принятые в задаче обозначения весьма условны, хотя такие величины, как площадь поля, масса зерна с единицы площади вновь обозначаются общеизвестными  символами.   2. Введенная группа величин  Мвал., m0, Sобщ  не используется в полном объеме  в решении задачи, но ее введение в таком составе,  по моему мнению, вполне оправдано. Задачи на сухопутное движение и движение по реке.   При решении большинства таких задач широко используется схематическое изображение ситуации движения. Иногда названия пунктов в задаче обозначены. В некоторых задачах определены названия самих пунктов или они не оговорены вовсе. В этом случае местонахождение пунктов на рисунке обозначаю большими буквами русского алфавита, используя заглавные буквы названий населенных  пунктов, или при отсутствии этих названий ввожу свою символику.  Направление движения указывается  направленными отрезками, длина которых, как правило,  приблизительно соответствует абсолютной величине скорости движения.   При решении таких задач сложилась определенная система в обозначениях величин, входящих в условие задачи. Так при прочтении даже одного, обычно первого, предложения из условия задачи, типа: «Катер по течению реки прошел из пункта А в пункт В, затем вернулся обратно», прошу учеников, чтобы у  них в тетрадях появились тройки величин:  а) sAB, vпо теч. ,tAB;  и б) sBA, vпр. теч. ,tBA, записанные в левой стороне тетрадной страницы группой вертикально одна под другой. Кроме того в таком же порядке записываем  всегда сопровождающие движение по реке такие величины,  как скорость реки (vр.) и собственную скорость катера (vсоб.).  При решении задач на сухопутное движение  на определенных отрезках, составляющих общий пройденный путь, поступаем аналогично. Например, передвижение некоторого тела на отрезке АС, где АС = АВ + ВС,  при необходимости можно отразить тройками взаимосвязанных величин: a) sAB, vAB, tAB;  б) sBC, vBC, tBC; в) sAС, vAС, tAС  или  г) sBА, vBА, tBА;  д) sCВ, vCВ, tCВ; е) sСА, vСА, tСА. Заметим, что  sAB = sBА,  sBС = sСВ,  sAС = sСА. В то же время скорости движения на этих отрезках,  как и время, за которое они были пройдены, могут быть отличными друг от друга.  При дальнейшем решении задачи учащимся даже обращаться лишний раз к условию задачи и не надо, ибо из предложенной краткой записи многое становится весьма прозрачным и понятным: SAB – катер  движется от А до В; Vпо теч. –  скорость катера,  движущегося вниз по течению реки; tAB – время, затраченное на путь от А до В по течению реки.   При решении задач на сухопутное передвижение очевидными становятся и такие равенства, как  tAС = tAB + tBC,  tСА = tCВ + tBА.  В задачах на  движение по реке необходимо помнить, что  vпо теч = vсоб + vр.,  vпр теч = vсоб - vр, откуда следуют и такие часто используемые очевидные равенства: vсоб  =   и  vр  = Задача №7. (Такая задача под № 000* предложена для пятиклассников в учебнике  за 2008 год, издательство «Мнемозина»): «Катер, встретив плот, продолжал движение еще в течение получаса в том же направлении, а затем развернулся и направился обратно. Сколько ему понадобится времени, чтобы догнать плот?» Решение: Выполним рисунок, чтобы лучше представить сложившуюся ситуацию с предложенным процессом движения на реке.   .  Пункт  Место  Пункт   поворота  встречи  обгона           А  В  С   *  *  *   Ѵпо. теч  Ѵпр. теч.  Ѵпл.   sВА  ?  км   Ѵпр. теч. ?    tВА    sВС  ?  км   Ѵпл.  ?    tВС    s, сбл=. sАС  ?  + = (км)   Ѵсбл.  ?  ?  t сбл.  ?  Для выражения неизвестных величин используем следующие рассуждения: Ѵсбл.  = Ѵпо теч.-  Ѵпл.= (у +2х) – х = у +х, так как Ѵпр. теч = Ѵсоб.-  Ѵпл, , т. е.  у = Ѵсоб – х, откуда Ѵсоб = у + х,  а Ѵпо теч. = Ѵсоб. +  Ѵпл,, т. е.  Ѵпо теч = (у + х) + х = у + 2х Ответ:  Катер догонит плот через полчаса. Задача №8 (№ 000, учебник за 2008 год, издательство «Мнемозина»): «При движении против течения реки расстояние в 88 км моторная лодка проходит за 8 ч. Какая скорость лодки в стоячей воде, если плот то же расстояние проходит за 22 ч?» Решение: sпр. теч.  88 км vпр. теч.  ?  1)  88 км : 8 ч = 11   tпр. теч  8 ч   sпо оз.  ? ?  vсоб..  ?  3)  11 + 4 =  15   tпо оз.  ?  sпо теч.  88 км vпл.= vр.  ?  2) 88 км : 22 ч = 4 tпл.  22 ч  vпр. теч. = vсоб..- vр.  vсоб = vпр. теч + vр. Ответ: скорость лодки в стоячей воде 15 Замечание:    Эта задача приведена не случайно. Для многих 5-ов она вызывает затруднения.  При таком решении, в котором отражаются все величины, явно и неявно проговоренные в задаче, нам учителям будет очень легко избежать методических затруднений при разговоре с учениками. Чертеж в данной задаче не нужен.  Необходимо лишний раз обратить внимание на изученные формулы при движении тел по реке и озеру. Задача № 9( из сборника заданий для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе  , из его 2-ой части для профильных классов, № 2.652, стр. 94 ): « От пристани А вниз по течению реки одновременно отошли плот и катер (скорость течения постоянна; скорость катера относительно воды постоянна; скорость плота относительно воды равна нулю). Катер доплыл до пристани В, вернулся к пристани А и снова отплыл к пристани В (без остановок). К пристани В плот и катер причалили одновременно, встретились они на расстоянии 3 км от пристани А. Определите скорость течения реки, если известно, что на путь от пристани А до пристани В катер тратил на полчаса меньше времени, чем на путь от В до А.» Решение: Выполним схематический рисунок по ситуации на реке: А  С  В I_______________I________________________________________________________I •  Vпл  V пр теч •  Vпл  •  Vпл •  Vпо теч.  V•по теч  sАВ  ?(км)    vпо теч. ?(км/ч)  у/х tАВ  ?(ч)  х sВС  ?  у -3  vпр теч. ?  tВС  ?  sАС  3 км  3 км ? vпл =.vр  ?  tАС = tАВ + tВС  ?  sСА  3 км  3 км vпр теч. ?  tСА  ?  sАВ  ?  vпл.  ?  t'АВ = 2tАВ + tВА  ?  sВА  ?  у vпр теч. ?  у : (х + 0,5) = tВА  ? на Ѕ ч б., чем  х + 0,5 vсоб = (vпо теч  + vпр теч.) : 2 =. vпл = (vпо теч. - vпр теч.) : 2= Используя равенства  tАС = tАВ + tВС  и  t'АВ = 2tАВ + tВА, получаем систему двух уравнений с двумя переменными:          , откуда легко найти, что ,  а  Простая подстановка в формулу  vпл =   найденных значений  х  и у, получим, что скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ: скорость течения реки 3 км/ч. Задача №9 (Виленкин, 6 класс, № 000, стр. 104) « Турист 3 ч шел пешком со скоростью 5 км/ч, а далее 4  ч он ехал на поезде, скорость которого в 12 раз больше. Оставшийся путь турист проехал на автобусе за 8  ч. С какой средней скоростью двигался турист за время путешествия, если скорость автобуса составляла    скорости поезда?» Решение: s1  ?  1)  5 · 3 = 15 (км) V1  5 км/ч t1  3  ч  s2  ?  3)  60 · 4 =  240 (км) V2  ?  в 12 раз б., чем  2) 5 · 12 = 60 ( км/ч)  t2  4  ч  s3 =  sобщ. – ( s1 +  s2)  5)  48 · 8 = 384 (км)  V3  ?   от  4) 60 ·    = t3  8  ч    sобщ.  ?  6) 15 + 240 + 384 = 639 (км) ? Vср.  ?  8)  639 : 15 = 42,6 (км/ч)   tобщ.  ?  7) 3 + 4 + 8 = 15 (ч) Ответ:  Средняя скорость туриста за время путешествия равна 42,6 км/ч Замечание:  среднюю скорость в данной задаче нельзя находить как среднее арифметическое средних скоростей на отдельных участках пути, ибо время прохождения участков разной продолжительности. Задачи на сравнение величин. Много задач для разных классов на сравнение каких-либо количественных значений определенных величин. К таким задачам привыкли ученики ещё с начальных классов. При этом они успешно используют краткую запись условия. Этим умением надо  воспользоваться учителям 5-х классов и в дальнейшем широко использовать в работе с текстовыми задачами. Следующая задача наглядный пример такой работы с детьми. Задача №10 (по материалам «Кенгуру – 2010», что предлагалась для 5 – 6-х классов на 4 балла): « Саша и папа собирали грибы. Саша нашел  на 18 грибов больше, чем половина грибов, найденных папой. Папа нашел на 7 грибов больше, чем Саша. Сколько грибов нашли Саша и папа вместе?» Решение: nС  ?  на 18 шт. б.,чем  х шт. или (х+7) + 18 nп  ?  (х+7) шт. nп  ?  на 7 шт. б., чем  (х+7) шт. ? nобщ.  ? Получаем очевидное уравнение: х = (х+7) + 18,  2)43 + (43+7)= 93 (шт.) х = х +3,5 +18, 0,5х = 21,5,   х = 43. Ответ: Папа и Саша собрали вместе 93 гриба. Задача №11 (Виленкин, 6 класс, № 000 стр. 28) « На ферме содержатся коровы, овцы и козы, всего 3400 животных. Овцы и козы вместе составляют всех животных, а козы составляют    общего числа овец и коз. Сколько на ферме коров, сколько овец и сколько коз?» Решение: ? nкор.  ?  4) 3400 – 1800 = 1600 (гол) ? nов.  ?  3) 1800 – 400 = 1400 (гол.) ? nкоз  ?    от  2) 1800 · = 400 (гол.) nобщ.  3400 гол. nов. + nкоз  ?  от  1)  3400 · = 1800 ( гол.) Ответ: на ферме коров 1660 голов, овец 1400 голов, коз 400 голов. Задача на покупку Задача №12 (Сборник задач и упражнений по математике 5 класс, ,, Мнемозина, 2009 г., стр.106, № 000*) «Хозяйка купила растительное масло двух сортов. Рафинированного масла было куплено на 36 р., а за нерафинированное масло, которое дешевле в 1,2 раза рафинированного, было уплачено в 1,5 раза больше. 1)Найдите сумму, которую уплатила хозяйка за всю покупку?  2)Сколько заплатила бы хозяйка за всю покупку, если нерафинированное масло было бы в два раза дешевле рафинированного?»

Решение:

mр  ?  кг