Методика решения текстовых задач в 5-11 классах (стр. 7 )

  (4)

Число  л называют отношением варианты  m  к эталону  М,  а выражение p%  их процентным отношением. Учащиеся должны твердо  усвоить, что ключевая фраза «варианта  m  составляет  p%  от эталона  M»  математически записывается формулой (4) или  выводной из неё в виде 

m = p%M  =    (5)

  Аналогично рассматривается относительное сравнение отклонения Д = m – M  варианты  m от этого эталона с эталоном.

Пусть  ,  (6)

тогда согласно (2) получим, что  число  е = (100е)% и в случае обозначения 

q = 100е,  (7)

получим следующую формулу относительного сравнения отклонения  Д с эталоном  М:

  (8)

Формула (8), означающая, что варианта m  на q%  отличается (больше, меньше) от эталона М, переписывается в виде

m = M(1 + q%) =  M( 1+  ),  (9)

где q% в случае «больше» и  q%  в случае «меньше».

Из формул (6)  и (3)  (или (8) и (4) )  следуют простые, но часто полезные соотношения:

л – е = 1,  (10) 

= 100%.  (11)

Дейсвительно,  л – е  =

  Те учителя, которые рискнут перейти полностью на такую методику изучения процента, авторы статьи Боровских и Розов  предлагают вывесить в кабинете математики плакаты следующего содержания:

Я думаю, что такой подход к изучению данной темы, имеет место быть в школе. Предлагаю его изучать в отдельном элективном курсе  в старших классах. Можно апробировать его изучение и в начале 8-го класса, когда учащиеся начнут решать задачи по химии. Но не надо отказываться от  предлагаемых методических приемов в работе и с учащимися 5-х  и 6-х классов. Мои ученики 6-го класса усвоили данные понятия варианты и эталона вполне осознанно. Не было еще случая, чтобы они в условии конкретной задачи перепутали,  какую из величин принять за эталон, какую за варианту. Плакаты, предложенные выше, вывешены на лицевую сторону кабинета математики, и активно применяются в решении задач на проценты.

Задачи о банковских вкладах.

В старших классах необходимо, конечно, познакомить с формулой сложных процентов, которая предусматривает более быстрые вычисления по банковским вкладам под определенный процент за тот или иной период, обычно год, (а при большой инфляции таковым периодом является квартал или полугодовой период.)  Для своих учеников я  предлагаю  формулу в следующем виде: 

Уn = У0 · ( 1 + p% )n, где

У0  -  сумма первоначального  вклада,

Уn– сумма вклада через период вложения денег (n),

p% - доход в процентах за единицу  периода (год, полугодие, квартал, два месяца, месяц и т. д.)

  Надо уметь воспользоваться указанными ранее договоренностями, чтобы расчеты в действительности стали удобными, а не становились камнем преткновения для учащихся. Вот тогда и формула сложных процентов для них станет значимой и будет ими  запомнена.  Есть необходимость продемонстрировать решение подобных задач и применить оговоренные преобразования, в частности, и  при использовании формулы сложных процентов.

Задача №16 ( Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ, сост.  и др. – Волгоград: Учитель, 2008., № 8.1.13)

«Вклад, вложенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 1312,5 тыс. руб. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых»

Решение:

? У0  ? 

  Уn  1312,5 тыс. р.

  n  2 года

  p%  25%

Так как  Уn = У0 · ( 1 + p% )n, то получим уравнение:

1312500 = 2,

2 = 1312500,

2,

Ответ:  первоначальный вклад был 840 тыс. рублей.

Замечания:

1). Хотелось бы увидеть составителя подобных задач  на самом ЕГЭ при отсутствии у него калькулятора и заставить вычислять «столбиком», да еще в стрессовой ситуации, коей является любой экзамен.

2). Для  некоторых учеников возможно легче для понимания другое решение задачи:

Второе решение задачи № 16:

? У0  ? 

  У1  ?  на 25%  б., чем 

  У2  1312500 руб.  или  на 25%  б., чем  1,25

Получаем очевидное уравнение:

1,25

1,5625 

Ответ:  первоначальный вклад был 840 тыс. рублей.

Задача №17 (Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ, сост.  и др. – Волгоград: Учитель, 2008., № 8.1.14)

« Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик вложил 1 января 1000 руб. и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 рублей. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на этот вклад?»

Решение:

  У0  1000 р. 

  Уn  1210 р.

  n  2 года

  ? p%  ? 

Так как  Уn = У0 · ( 1 + p% )n, то получим уравнение

1210 = 1000·( 1 + )2,

1210 = 1000 · (1 + )2,

(1 + )2 = 1,21,

(1 + )2 = 1,12,

1 + = 1,1 (учли, что  1 + ,