Линейная алгебра (стр. 10 )

Запишем

1	2	3	4	1	0	0	0
0	1	2	3	0	1	0	0
0	0	1	2	0	0	1	0
0	0	0	1	0	0	0	1

А уже приведена к треугольному виду, следовательно, будем делать обратные преобразования Гаусса. Из последнего уравнения видно, что

х4j=0ô0ô0ô1, это означает, что

х41 = 0, х42 = 0, х43 = 0, х44 = 1.

Найденный х4j подставим в предпоследнее уравнение, получим

х3j + 2х4j=0ô0ô1ô0

или

х31+2х41=0

х31+2*0=0

х31=0;

х32+2х42=0

х32+2*0=0

х32=0;

х33+2х43=1

х33+2*0=1

х33=1;

х34+2х44=0

х34+2=0

х34= - 2

Аналогично, двигаясь снизу вверх, получим

x2j + 2x3j + 3x4j= 0ô1ô0ô0

или

х21+2х31+3х41= 0

х21+2*0+3*0=0

х21=0;

х22+2х32+3х42=1

х22+2*0+3*0=1

х22=1;

х23+2х33+3х43=0

х23+2*1+3*0=0

х23= - 2;

х24+2х34+3х44=0

х24+2(- 2)+3*1=0

х24=1;

Далее

х1j + 2x2j + 3x3j + 4x4j = 1ô0ô0ô0

или

х11+2х21+3х31+4х41=1

х11+2*0+3*0+4*0=1

х11=1;

х12+2х22+3х32+4х42=0

х12+2*1+3*0+4*0=0

х12= - 2;

х13+2х23+3х33+4х43=0

х13+2( - 2)+3*1+4*0=0

х13=1;

х14+2х24+3х34+4х44=0

х14+2*1+3(-2)+4*1=0

х14=0

Заполним обратную матрицу найденными xij

А-1=	1	-2	1	0
0	1	-2	1
0	0	1	-2
0	0	0	1

Сделаем проверку: умножим, например, А-1А=Е

 

1	-2	1	0	1	2	3	4	=	1	0	0	0
0	1	-2	1	0	1	2	3	0	1	0	0
0	0	1	-2	0	0	1	2	0	0	1	0
0	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0	1

Лекция 9.
Минор к-го порядка. Ранг матрицы.
Вычисление ранга матрицы

Минор к-го порядка

Рассмотрим матрицу А=[аij]m´n

	а11	а12	...	а1к	а1,к+1	: : : : :	а1n
А=	а21	а22	...	а2к	а2,к+1	a2n
...	...	Мк	...	...	...
ак1	ак2	...	акк	ак, к+1	akn
ак+1,1	ак+1,2	...	ак+1,к	ак+1,к+1	ak+1,n
..........................................................................
аm1	аm2	...	аmк	аm,к+1	:	amn

Вычеркнем произвольно к строк и к столбцов (для определенности изложения – пусть это будут первые к строк и первые к столбцов).

На пересечении вычеркнутых к строк и к столбцов стоит таблица, соответствующая определителю к-го порядка. Такой определитель к-го порядка будем называть минором к-го порядка и обозначать Мк.

Максимальный порядок Мк, который может быть вычеркнут в матрице А m´n, очевидно, равен m, если m<n, и равен n, если m>n.

Ранг матрицы. Вычисление рангов

Рангом матрицы называется максимальный порядок отличных от нуля миноров Мк.

Дана матрица А=[аij]m´n. Ее ранг r может быть вычислен перебором всех возможных Мк, начиная с М1 до Мк. Если хотя бы один Мк¹0, а Мк+1 все равны «0», то ранг матрицы равен r = k.

Если хотя бы один Мк+1¹0, а Мк+2 все равны «0», то r = к + 1 и т. д.

Очевидно, что r = 0 матрицы, состоящей из одних нулей, и r = 1 матрицы, у которой один элемент не равен 0.

Метод вычисления ранга матрицы, вычисляя миноры, начиная с младшего порядка к старшему, называется метод окаймления.

Познакомимся с этим методом на примере.

Пример:

	1	2	3	-1
А=	2	4	6	-2
	-2	-4	-6	3
				3´4

Максимальный порядок Мк, который может быть вычеркнут в этой таблице, очевидно, М3. Таких миноров - три. Если хотя бы один из них не равен 0, то ранг матрицы r(А)=3. Если они все равны 0, то необходимо перебрать все М2, которые содержатся в этой матрице, и т. д. Данный путь предполагает перебрать все Мк, начиная со старшего порядка.

Так делать можно, но это довольно длинный алгоритм.

Выберем любой элемент матрицы, отличный от 0, например, а11=1. Этот элемент может быть рассмотрен как М1¹0.

Окаймляющий М1 минор М2=	1	2	=0.
2	4

Так как этот минор равен «0», то не будем его в дальнейшем рассматривать.

Будем двигаться по строке и выберем элемент а12=2, считая его как еще один М1¹0. Окаймляющий его минор М2 слева мы уже рассматривали,

справа М2=	2	3	=0
4	6

Опять двинемся вправо по первой строке: а13=3 и а13=М1¹0,

окаймляющий его справа М2=	3	-1	=0.
6	-2

Все М2, содержащиеся в 1–й и 2–й строке, равны 0. Будем рассматривать 2–ю строку и окаймляющие миноры М2, содержащиеся во 2–й и 3–й строках.

Видно, что а23=М1, окаймляющий его М2=	6	-2	= 6 ¹ 0. Тогда,
-6	3
найдем окаймляющий его минор 3–го порядка.
	2	3	-1
Окаймляющий его М3=	4	6	-2	=0, следовательно,
	-4	-6	3

максимальный порядок минора – второй, тогда r(А) = 2.

Этот метод довольно громоздок и часто труден для применения на практике. Чаще используется на практике метод вычисления ранга матрицы с использованием линейных преобразований над строками и столбцами.

К линейным преобразованиям относятся:

1.  Вынесение общего множителя из некоторой строки (или столбца)

2.  Сложение элементов любой строки (или столбца) с соответствующими элементами другой строки (или другого столбца) умноженные на некоторый коэффициент.

Познакомимся с этим методом на примере.

Пример:

Вычислить ранг А.

	1	-4	2	0	-1
А=	2	-3	-1	-5	-7
	3	-7	1	-5	-8

Выберем любой элемент, не равный 0, и назовем его условно главным элементом. Например, а11=1. Пусть 1–й столбец, в котором стоит этот элемент, будет главным. Тогда, подбирая соответствующие коэффициенты и складывая с соответствующими элементами других столбцов, добьемся обнуления элементов 1–й строки:

1	-4	2	0	-1	˜	1	0	0	0	0	˜
2	-3	-1	-5	-7	2	5	-5	-5	-5
3	-7	1	-5	-8	3	5	-5	-5	-5

Теперь, если а11 еще раз выбрать «главным», но теперь уже в 1–й строке, то элементы 1–го обнулятся автоматически, не изменяя элементов 2–й и 3–й строк, соответствующих нулевым:

 

˜	1	0	0	0	0	˜
0	5	-5	-5	-5
0	5	-5	-5	-5

Вынесем общие множители из 2–го, 3–го, 4–го и 5–го столбцов