Линейная алгебра (стр. 11 )

(5, -5, -5,-5). Эти множители можно не запоминать, т. к. нас интересует только порядок минора, не равного 0, а не величина, которой этот минор равен:

 

˜	1	0	0	0	0	˜
0	1	1	1	1
0	1	1	1	1

Пусть далее а22=1 будет главный. За счет этого элемента, выбранного главным в строке, а затем в столбце, обнулим элементы 3–й строки, а затем 3–го, 4–го и 5–го столбцов:

 

˜	1	0	0	0	0	˜	1	0	0	0	0	˜
0	1	1	1	1	0	1	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Вычеркнем все нулевые строки и столбцы:

 

˜	1	0	0	0	0	˜	1	0
0	1	0	0	0	0	1
0	0	0	0	0

Остался минор М2¹0, следовательно, ранг А равен 2, r = 2.

Лекция 10.
Теорема Кронекера – Копелли.
Решение произвольных систем
линейных уравнений

Произвольной системой линейных уравнений называется система следующего вида:

а11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

(1) а21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

………………………………………

аm1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

Матрицей системы А называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных

А=	а11	а12	…	а1n
а21	а22	…	а2n
………………….
аm1	аm2	…	аmn

Расширенной матрицей А¢ системы называется матрица(А½В) – это матрица А, к которой добавлен столбец свободных членов:

А¢=	а11	а12	…	а1n	b1
а21	а22	…	а2n	b2
.........................................
аm1	аm2	…	аmn	bm

Справедлива следующая теорема Кронекера – Копелли:

Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Эта теорема лежит в основе методики исследования и нахождения решения произвольных систем.

Предположим, что rang(А)= rang(А¢)=r, т. е. система (1) совместна, тогда любой минор r-го порядка Мr¹0 может быть выбран в качестве базового минора.

Соответствующие ему неизвестные будут базовыми неизвестными, а оставшиеся неизвестные назовем свободными константами. Для определенности изложения, предположим, что Мr¹0 соответствует первым неизвестным: (х1, х2,..., хr), которые, таким образом, являются базовыми, тогда (хr+1, хr+2,..., хn) – свободные константы.

Перепишем систему (1) в соответствии с выбранным Мr

а11x1 + a12x2 + … + a1rxr = b1 - a1,r+1xr+a1nxn

(2) а21x1 + a22x2 + … + a2rxr = b2- a2,r+1xr+– a2nxn

………………………………………

аr1x1 + ar2x2 + … + arrxr = br - ar, r+1xr+– arnxn

Все уравнения, начиная с (r+1), откинуты, т. к. они являются линейными комбинациями первых r. Это стало известно после вычисления рангов А и А¢. Все свободные константы перенесены в правые части уравнений со своими коэффициентами с противоположными знаками.

Система (2) имеет основную матрицу или главный определитель D=Мr¹0, следовательно, по правилу Крамера (2) совместна и имеет бесконечное множество решений, зависящих от свободных констант хr+1=c1, хr+2=c2,..., хn=cn-r.

Общее решение системы может быть записано в виде (3)

	x1=Dx(c1, c2,..., cn-r) / D 1
	x2=Dx(c1, c2,..., cn-r) / D 2
..................................
	xr=Dx(c1, c2,..., cn-r) / D r
	хr+1=c1
	хr+2=c2
	.............................................
	хn=cn-r

Из общего решения (3) может быть получено любое частное. Для этого необходимо присвоить свободным константам с1, с2,..., сn-r конкретные значения и вычислить х1, х2,..., хr

Пример.

х1-4х2+2х3= - 1
2х1-3х2-х3-5х4= - 7
3х1-7х2+х3-5х4= - 8
	1	-4	2	0		1	-4	2	0	-1
rang	2	-3	-1	-5	=rang	2	-3	-1	-5	-7	=2
	3	-7	1	-5		3	-7	1	-5	-8

(проверить самостоятельно)

Следовательно, по теореме Кронекера – Копелли система совместна и ее решение может быть записано через любой базовый минор 2-го порядка, не равный 0. Например,

М2=	1	-4	=5
2	-3

(минор находится в левом верхнем углу основной матрицы системы)

Выберем его в качестве базового минора. Тогда, неизвестные х1 и х2 – базовые, а х3,х4 – свободные константы.

Перепишем систему в соответствии с выбранным базовым минором:

х1-4х2 = -1 – 2х3

2х1-3х2 = - 7 +х3+5х4

Вычислим добавочные определители при базовых неизвестных Dх и Dх :

1 2

Dх= 1	-1 – 2х3	- 4	= 3+6х3-28+4х3+20х4=
- 7 +х3+5х4	- 3
	= -25+10х3+20х4=-5(5-2х3-4х4)
Dх= 2	1	-1 – 2х3	=-7+х3+5х4+2+4х3=
2	- 7 +х3+5х4
	=-5+5х3+5х4=- 5(1-х3-х4)

Общее решение

х1= Dх /D=-5(5-2х3-4х4) / 5=-5+2х3+4х4 1

х2= Dх /D=- 5(1-х3-х4) / 5=- 1+х3+х4 2

х3=с1

х4=с2

Найдем какое-нибудь частное решение. Положим, например, с1 и с2 – нули, тогда

х1= -5

х2= -1

х3= 0

х4= 0

Если с1 и с2 – какие-нибудь другие величины, то в соответствии со свободными константами.

Например:

х1= -1

х2= -1

х3= 1

х4= 1 и т. д.

Мы можем в качестве базового минора выбрать любой другой

М2¹0. Например, М2=	2	0	= -10.
1	-5

Этот минор соответствует х3 и х4 в 1-м и в 3-м уравнениях.

Тогда система будет

2х3=-1-х1+4х2

х3-5х4=-8-3х1+7х2

Dх= 3	-1 – х1+4х2	0	= 5+5х1 +20х2=
- 8 -3х1+7х2	-5
	= 5(1+х1+4х2)
Dх= 4	2	-1 – х1+4х2	=-16-6х1+14х2+1+х1-4х2=
1	- 8 -3х1+7х2
	=-15-5х1+10х2=- 5(3+х1-2х2)

Общее решение при таких выбранных базовых неизвестных («в такой базе»):

х1=с1
х2=с2
	х3= Dх /D=5(1+х1+4х2) / (-10)=-1/2(1+х1+4х2) 3
	х4= Dх /D=- 5(3+х1-2х2) / (-10)=1/2(3+х1-2х2) 4

Если с1 и с2 – нули, то частное решение

 

х1=0

х2=0

х3=-1/2

х4=3/2

Из этого общего решения можно получить частное решение, полученное из любого другого, записанного «в любой другой базе».

Например,

 

х1=-5

х2=-1

х3=0

х4=0 может быть получено из последнего общего при х1=-5, х2=-1

х1=-5

х2=-1

х3= -1/2(1-5+4)=0
х4=1/2(3-5+2)=0

Приложение 1

Задания для самостоятельного решения

1. Вычисление определителей

1.1	sin x	cos x	1.2	1	0	1.3	- 1	0
cos x	- sin x	0	1	0	1

1.4	1	- 2	1.5			1.6		1
3	4	1		1

1.7	1	2	3	1.8	sin2 a	1	cos2 a	1.9	a	1	2
4	5	6	sin2b	1	cos2 b	2	b	1
7	8	9	sin2g	1	cos2 g	2	1	c

1.10	a	x	x	1.11	3	4	4	1.12	4	-3	5
x	b	x	4	3	4	3	-2	8
x	x	b	4	4	3	-3	-7	-5

Не развертывая определителей, доказать следующие тождества: