Линейная алгебра (стр. 9 )

Δх = n	A1nb1+A2nb2+...+Annbn =	а11	а12	: : : :	b1
a21	a22	b2
:	:	:
an1	an2	bn

Тогда

Х=	Δх /D 1	, что подтверждает правило Крамера
Δх /D 2
:
Δх /D n

В общем случае, в матричном уравнении АХ=В Х, В могут быть не только матрицей–столбцом, а матрицей такого размера, что АХ существует и равно В.

Тогда

Х = А-1В

Матричное уравнение ХА = В решается аналогично, только

ХАА-1 = ВА-1, АА-1=Е, ХЕ = Х,

Тогда

Х = ВА-1

Матричные уравнения решаются сначала в матричном виде, а затем делаются обращения нужных матриц и далее необходимые действия.

Пример.

АХВ + D = C

AXB = C – D

(A-1A)X(BB-1) = A-1(C – D)B-1

X = A-1(C – D)B-1

Пусть

А=	2	3	, В=	3	4	, С=	1	2	, D=	0	1
-4	5	-4	3	2	1	1	0

A-1=(1/DA)Ã= 1/22	5	- 3
4	2

B-1=(1/DB)B = 1/25	3	- 4
4	3
C – D=	1	2	-	0	1	=	1	1
2	1	1	0	1	1

X=1/22*1/25	5	-3	1	1	3	-4	=1/550	2	2	3	-4	=
4	2	1	1	4	3	6	6	4	3

=1/550	14	-2	=1/275	7	-1
42	-6	21	-3

Проверка

АХВ + D = C

AXB = 1/275	2	3	7	-1	3	4	=
-4	5	21	-3	-4	3
= 1/275	77	-11	3	4	=1/25	25	25	=	1	1
77	-11	-4	3	25	25	1	1
AXB+D=	1	1	+	0	1	=	1	2	, где
1	1	1	0	2	1
1	2	=C Уравнение решено верно.
2	1

Лекция 8.
Обращение матрицы с использованием
алгоритма Гаусса

Метод обращения матриц при помощи союзной очень громоздок уже для матриц 4–го порядка, т. к. для нахождения союзной матрицы для матрицы 4–го порядка необходимо вычислить 16 определителей 3–го порядка, для нахождения союзной матрицы для матрицы 5–го порядка – 25 определителей 4–го порядка и т. д.

Известно, что обратная матрица существует у квадратной невырожденной матрицы и сама является квадратной невырожденной и того же порядка, что и исходная.

Имеем матрицу А=[aij]n´m, DА¹0

 

А=	а11	а12	…	а1n
а21	а22	…	а2n
…………………
аn1	аn2	…	аnn

Составим матрицу А-1с неизвестными элементами хij.	Тогда А-1=	х11	х12	…	х1n
х21	х22	…	х2n
................................
хn1	хn2	…	хnn

Причем, АА-1 = А-1А = Е, где Е – единичная матрица того же порядка, что А и А-1.

Тогда рассмотрим, например, равенство

АА-1=Е

а11

а12

…

а1n

х11

х12

…

х1n

=

1

0

...

0

а21

а22

…

а2n

х21

х22

…

х2n

0

1

...

0

…………………

..................................

.................................

аn1

аn2

…

аnn

хn1

хn2

…

хnn

0

0

...

1

По другому это равенство можно записать в виде n систем линейных уравнений относительно xij (i – номер системы), правые части которых j – столбцы матрицы Е.

a11x1j+a12x2j+...+a1nxnj= 1	0	: : : :	0
a21x1j+a22x2j+...+a2nxnj= 0	1	0
.........................................	..	..
an1x1j+an2x2j+...+annxnj= 0	0	1

Эти системы имеют один и тот же главный определитель (главную матрицу), но разные столбцы свободных членов, следовательно, их можно преобразовать к треугольному виду по алгоритму Гаусса одновременно с учетом правых частей.

Таким образом, обращая матрицу с использованием алгоритма Гаусса, можно сразу написать расширенную матрицу вида

а11	а12	…	а1n	1	0	:	0
а21	а22	…	а2n	0	1	:	0
…………………	:	:	:	:
аn1	аn2	…	аnn	0	0	:	1

Рассмотрим пример:

А=	1	2	3	4
0	1	2	3
0	0	1	2
0	0	0	1

В этом примере матрица А является верхней треугольной, ее определитель D равен произведению элементов главной диагонали и D=1. Следовательно, существует обратная А-1.