Линейная алгебра (стр. 1 )

КОМИТЕТ ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

Санкт – Петербургский колледж управления и экономики

«Александровский лицей»

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2013

Составила:

Ст. методист:

Пособие предназначено для изучения раздела дисциплины «Математика». Первый вариант учебного пособия рассмотрен на заседании методической комиссии по специальностям СПО 230105 «Программное обеспечение ВТ и АС», 080802 «Прикладная информатика (по отраслям)», 11.09.2006 г. протокол Переработанный и дополненный вариант учебного пособия рассмотрен на заседании методической комиссии по специальностям СПО 230701 «Прикладная информатика (по отраслям)».

Пособие представлено к. ф-м. н., доцентом и рассмотрено на заседании кафедры Высшей математики СПбГИТМО, 26 октября 2001 г., протокол , рекомендовано к использованию в учебном процессе по дисциплине «Математика».

Дополненный и переработанный вариант рассмотрен на заседании кафедры Высшей математики СПбГИТМО, протокол , 19.09.2006

Содержание

Введение.................................................................................................................................. 4 Лекция 1. Определители II и III порядка........................................................................... 5 Определители II порядка................................................................................................... 5 Задача о пересечении 2-х прямых на плоскости............................................................. 5 Определители III порядка................................................................................................. 7 Лекция 2. Минор и алгебраическое дополнение. Основная теорема о разложении. Свойства определителей........................................................................................................ 8 Минор и алгебраическое дополнение.............................................................................. 8 Основная теорема о разложении определителя.............................................................. 8 Свойства определителей.................................................................................................. 10 Лекция 3. Определители n-го порядка. Вычисление определителей............................ 13 Лекция 4. Системы линейных уравнений. Метод Крамера............................................. 16 Метод Крамера.................................................................................................................. 17 Лекция 5. Алгоритм Гаусса. Метод последовательного исключения неизвестных..... 21 Лекция 6. Матрицы. Действия над матрицами................................................................. 24 Матрицы............................................................................................................................ 24 Действия над матрицами................................................................................................. 26 Лекция 7. Метод обращения матрицы при помощи союзной. Матричные уравнения 29 Матричные уравнения..................................................................................................... 30 Лекция 8. Обращение матрицы с использованием алгоритма Гаусса............................ 33 Лекция 9. Минор к-го порядка. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы............... 36 Минор к-го порядка.......................................................................................................... 36 Ранг матрицы. Вычисление рангов................................................................................ 36 Лекция 10. Теорема Кронекера – Копелли. Решение произвольных систем линейных уравнений.............................................................................................................................. 39 Приложение 1....................................................................................................................... 43 Задания для самостоятельного решения............................................................................. 43 1. Вычисление определителей........................................................................................ 43 2. Матрицы. Действия над матрицами. Матричные уравнения.................................. 46 3. Решение систем линейных уравнений....................................................................... 48 Ответы................................................................................................................................... 50 Приложение 2....................................................................................................................... 52 Некоторые сведения из теории множеств. Комбинаторика. Перестановки и подстановки.............................................................................................. 52 Определитель n-го порядка............................................................................................. 53 Бином Ньютона. Метод математической индукции..................................................... 55 Теорема Лапласа............................................................................................................... 58 Приложение 3........................................................................................................................... Список рекомендуемой литературы................................................................................... 60

4 5 5 5 7 8 8 8 10 13 16 17 21 24 24 26 29 30 33 36 36 36 39 43 43 43 46 48 50 52 52 53 55 58 60 60

Введение

Настоящее учебное пособие представляет собой краткий курс лекций по линейной алгебре для студентов колледжа управления и экономики «Александровский лицей», изучающих математику.

В пособии изложен материал 10-ти основных лекций, а также подробно рассмотрены примеры решения типовых задач, соответствующих темам лекций.

В приложении 1 предложены задачи для самостоятельного решения с ответами.

В приложении 2 изложены дополнительные сведения из разделов математики «Комбинаторика», «Линейная алгебра», «Теория множеств», необходимые для углубленного изучения теории определителей.

Данное пособие позволяет самостоятельно познакомиться и изучить раздел математики «Линейная алгебра» в объеме программы по курсу «Математика», разработанной на основе стандартов и государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальностям СПО 230701 «Прикладная информатика (по отраслям)», 120714 «Земельно-имущественные отношения», 080114 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)», 034702«Документационное обеспечение управления и архивоведение», 080214 «Операционная деятельность в логистике», 080118 «Страховое дело (по отраслям), 080109 «Финансы», 100701 «Коммерция (по отраслям)».

Лекция 1.
Определители II и III порядка

Определители II порядка

Определителем II порядка называется число Δ, соответствующее таблице элементов

a1	b1
a2	b2

и равное алгебраической сумме произведений элементов главной и побочной диагоналей, т. е.

Δ = a1b2 – a2b1

Например:

1	2	= 4 – 6 = - 2
3	4

-1	2	= - 4 – 6 = - 10
3	4

1	-2	= 4 – ( - 6)= 10
3	4

В таблице элементов, соответствующей определителю II порядка содержится 2 строки и 2 столбца.

Элементы a1, b1 – элементы 1-й строки,

a2, b2 – 2-й строки;

Элементы a1, a2 – 1-го столбца,

b1, b2 – 2-го столбца;

a1, b2 – элементы главной диагонали;

a2, b1 – элементы побочной диагонали.

	a1	b1	1 строка
	a2	b2	2 строка
Побочная диагональ	1 столбец	2 столбец	Главная диагональ

В алгебраическую сумму произведений элементов главной диагонали входит со знаком “ + ”, элементы побочной диагонали - со знаком “ - ”.

Задача о пересечении
2-х прямых на плоскости

Простая задача о пересечении 2-х прямых на плоскости приводит к необходимости и обоснованности введения понятия определителя II порядка.

Пусть даны 2 прямые на плоскости:

Уравнение a1x + b1y= c1 – уравнение 1-й прямой

Уравнение a2x + b2y= c2 – уравнение 2-й прямой

Решим систему уравнений:

a1x + b1y= c1

a2x + b2y= c2

Исключим неизвестное «y» из системы. Для этого правую и левую часть каждого уравнения умножим на «b2» и «b1» соответственно. Теперь, вычтем из 1-го уравнения 2-е уравнение. Получим:

(a1b2 – a2b1) x = c1b2 – c2b1

x =	c1b2 – c2b1	=	c1	b1
c2	b2
a1b2 – a2b1	a1	b1
a2	b2

Видно, что удобно для вычисления x записать числитель и знаменатель дроби через определитель II порядка.

Аналогично, для вычисления «y» исключим неизвестное «x». Для этого умножим правую и левую части каждого уравнения на «a1» и «a2» соответственно и вычтем из 2-го уравнения 1-е уравнение. Получим:

(a1b2 – a2b1) y = a1c2 – a2c1

y =	a1c2 – a2c1	=	a1	c1
a2	b2
a1b2 – a2b1	a1	b1
a2	b2

Видно, что знаменатель дроби для вычисления «y» такой же, как и знаменатель дроби для вычисления «x», и он равен определителю II порядка, элементы которого –коэффициенты при неизвестных «x» и «y» в 1-м и 2-м уравнениях. Назовем его условно главным определителем Δ.

Определители II порядка, стоящие в числителях дробей получены из главного, но определитель для вычисления «x» - путем замены 1 столбца на столбец с1, с2, а «y» - путем замены 2 столбца на столбец с1, с2. Назовем эти определители добавочными при x и при y: Δ x и Δy

Δx=	c1	b1	Δy=	a1	c1
c2	b2	a2	c2

Таким образом, решение системы

x=	Δx
Δ
y=	Δy
Δ

Полученный результат, записанный через определители II порядка, облегчает и убыстряет решение данной задачи и систем линейных уравнений.

Определители III порядка

Определителем III порядка называется число Δ, соответствующее таблице элементов из 3-х строк и 3-х столбцов и равное алгебраической сумме произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Δ=	a11	a12	a13	= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - – a31a22a13 – a32a23a11 – a33a21a12
a21	a22	a23
a31	a32	a33

Строки считаются сверху вниз, а столбцы слева направо. Элементы aij проиндексированы таким образом, что сразу видно на каком месте в таблице стоит выбранный элемент:

i – номер строки;

j – номер столбца.

	a11	a12	a13	1 строка
	a21	a22	a23	2 строка
	a31	a32	a33	3 строка
Побочная диагональ	1 столбец	2 столбец	3 столбец	Главная диагональ

Справедливо следующее правило Саррюса, которое позволяет легко перебрать все возможные произведения элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. К сожалению, это правило годится для вычисления определителя только III порядка.

	a11	a12	a13	a11	a12
	a21	a22	a23	a21	a22
	a31	a32	a33	a31	a32
-	-	-		+	+	+

К таблице элементов, соответствующей определителю III порядка дописываются столбцы:

4-й столбец, состоящий из элементов 1-го столбца;

5-й столбец, состоящий из элементов 2-го столбца.

Если такую таблицу рассматривать как три определителя III порядка, то в каждом определителе элементы главных диагоналей входят в алгебраическую сумму произведений элементов со знаком "+", а произведения элементов побочных диагоналей – со знаком "-".

Например,

	1	2	3	1	2
	4	5	6	4	5	=0
	7	8	9	7	8
-	-	-		+	+	+

	-1	2	3	-1	2
	4	5	-6	4	5	=( - 45+84+96) -
	-7	8	9	-7	8	+48+72)=
-	-	-		+	+	+	= - 120

Лекция 2.
Минор и алгебраическое дополнение.
Основная теорема о разложении.
Свойства определителей

Минор и алгебраическое дополнение

Рассмотрим элемент аij в определителе III порядка. При вычеркивании i-строки и j-столбца не вычеркнутыми останется определитель II порядка. Этот определитель II порядка будем называть минором элемента aij и обозначать Mij. Таким образом, каждому элементу соответствует минор.