Линейная алгебра (стр. 3 )

Таким образом, определитель изменил знак на противоположный.

3.  Определитель, у которого две одинаковые строки или два столбца, равен нулю.

Предположим, что определитель равен некоторому отличному от нуля числу Δ. Тогда по свойству (2) при перестановке 2-х строк (или 2-х столбцов) определитель должен поменять знак и стать равным ( -Δ). Если переставлять 2 одинаковые строки (или столбцы), то очевидно, что должно выполняться равенство

Δ = - Δ

Следовательно, Δ = 0, что и требовалось доказать.

4.  Если в определителе элементы некоторой строки (или столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя

ка11	а12	а13		а11	а12	а13
ка21	а22	а23	=к	а21	а22	а23
ка31	а32	а33		а31	а32	а33

Доказательство:

Разложим определитель по элементам 1-го столбца

ка11	а12	а13
ка21	а22	а23	=( ка11 )А11+(ка21 )А21+(ка31 )А31=
ка31	а32	а33
			=к(а11А11 + а21А21 +а31А31)=
			а11	а12	а13
		=к	а21	а22	а23
			а31	а32	а33

5.  Если в определителе элементы некоторой строки (или столбца) представляют собой сумму 2-х или более слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму 2-х и более определителей.

а11+m11	а12	а13	=	а11	а12	а13	+	m11	а12	а13
a21+m21	а22	а23	а21	а22	а23	m21	а22	а23
a31+m31	а32	а33	а31	а32	а33	m31	а32	а33

Доказательство:

Разложим определитель по элементам 1-го столбца

а11+ m11	а12	а13
a21+ m21	а22	а23	=(а11+m11)A11+(a21+m21)A21+(a31+m31)A31=
a31+ m31	а32	а33
= (a11A11+a21A21+a31A31) + (m11A11+m21A21+m31A31)=
	а11	а12	а13		m11	а12	а13
=	а21	а22	а23	+	m21	а22	а23
	а31	а32	а33		m31	а32	а33

6.  Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или другого столбца), умноженные на некоторый коэффициент

Доказательство:

Дан определитель

а11	а12	а13
а21	а22	а23
а31	а32	а33

Прибавим к элементам 1-го столбца соответствующие элементы 3-го столбца, умноженные на коэффициент к.

Получим определитель и разложим его на сумму 2-х определителей по свойству (5).

а11+ка13	а12	а13		а11	а12	а13		ка13	а12	а13
а21+ка23	а22	а23	=	а21	а22	а23	+	ка23	а22	а23
а31+ка33	а32	а33		а31	а32	а33		ка33	а32	а33
	а11	а12	а13		а13	а12	а13
=	а21	а22	а23	+ к	а23	а22	а23
	а31	а32	а33		а33	а32	а33

0

Второй определитель по свойству (3) равен 0. Свойство (6) позволяет делать линейные преобразования над строками и столбцами, обнулять элементы строк и столбцов и вычислять определители по теореме о разложении понижая порядок определителя.

7.  Алгебраическая сумма произведений элементов любой строки (или столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (или столбца) равна 0.

Доказательство:

Дан определитель

а11	а12	а13
а21	а22	а23
а31	а32	а33

Составим алгебраическую сумму произведений элементов 1-й строки, например, на алгебраические дополнения элементов 2-й строки.

Получим

а11А21 + а12А22 + а13А23 =
=-а11	а12	а13	+а12	а11	а13	- а13	а11	а12	=
а32	а33	а31	а33	а31	а32
= а11(а12а33 – а32а13) +а12(а11а33 – а31а13) – а13(а11а32 – а31а12)=
= - а11а12а33+а11а32а13+а12а11а33 – а12а31а13 – а13а11а32+а13а31а12=0

Лекция 3.
Определители n-го порядка.
Вычисление определителей

Определителем n-го порядка называется число Δ, соответствующее таблице элементов из n строк и n столбцов и равное алгебраической сумме произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.