Линейная алгебра (стр. 2 )

Например, дан определитель

a11	a12	a13
a21	a22	a23
a31	a32	a33

Рассмотрим элемент а12. После вычеркивания 1-й строки и 2-го столбца остался не вычеркнутым определитель

а21	а23	=М12
а31	а33

Алгебраическим дополнением элемента называется определитель минора этого элемента, взятый со знаком «+», если сумма номера строки и номера столбца – четное число; «-», если сумма номера строки и номера столбца – нечетное число.

Будем обозначать алгебраическое дополнение Аij.

Аij = ΔMij (- 1)i+j

Так, например, А12 = - ΔМ12, т. к. 1+2=3,(-1)3 = -1

Основная теорема
о разложении определителя

Теорема: Определитель равен алгебраической сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Другими словами, определитель может быть разложен по любой строке или столбцу.

Доказательство: Разложим определитель III порядка по 1-й строке или по 2-му столбцу. Так как определитель – это число, то очевидно, что при любом разложении должно получиться одно и то же число.

а11	а12	а13	= а11А11 + а12А12 + а13А13 =
а21	а22	а23
а31	а32	а33
=а11	а22	а23	- а12	а21	а23	+а13	а21	а22	=
а32	а33	а31	а33	а31	а32
=а11(а22а33 – а32а23) – а12(а21а33 – а31а23) + а13(а21а32 – а31а22)=
= a11a22a33 – a32a23a11 – a33a21a12+ a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13

а11	а12	а13	= а12А12 + а22А22 + а32А32 =
а21	а22	а23
а31	а32	а33
= - а12	а21	а23	+ а22	а21	а23	- а32	а11	а13	=
а31	а33	а31	а33	а21	а23
= - а12(а21а33 – а31а23) + а22(а21а33 – а31а23) – а32(а11а23 – а21а13)=
=– a33a21a12 + a12a23a31 + a11a22a33 – a31a22a13 – a32a23a11 + a13a21a32

Нетрудно видеть, что результат получился одинаковый (т. е. выбор строки или столбца не влияет на результат). Кроме того, если сравнить данный результат с вычисленным по правилу Саррюса (лекция 1), то видно, что они одинаковы.

Используя теорему о разложении, можно вычислять определители.

Например,

1	2	3	= 7	2	3	- 8	1	3	+ 9	1	2	=
4	5	6	5	6	4	6	4	5
7	8	9
= 7(12 – 15) – 8(6 – 12) + 9(5 – 8) =
=– 8( – 6) +9= – 16 +9)=0

Особенно рационально использовать теорему о разложении в случае, когда в строке или столбце есть нулевые элементы.

1	0	3	= 5	1	3
4	5	6	7	9	= 5(9 – 21) = - 60
7	0	9

Раскладывая данный определитель по 2-му столбцу, все произведения элементов на их алгебраические дополнения равны «0», так как сами элементы равны нулю, кроме одного а22 = 5.

Свойства определителей

Использование свойств определителей позволяет избежать трудоемких расчетов, при вычислениях определителей.

1.  Определитель не изменится, если поменять местами любые строки и столбцы, не меняя их номера. Такое действие будем называть транспонированием и обозначать

			Т
а11	а12	а13		а11	а21	а31
а21	а22	а23	=	а12	а22	а32
а31	а32	а33		а13	а23	а33

Доказательство:

Дан определитель

а11	а12	а13
а21	а22	а23	(1)
а31	а32	а33

Поменяем местами 1-ю строку и 1-й столбец, 2-ю строку и 2-й столбец,
3-ю строку и 3-й столбец.

а11	а21	а31
а12	а22	а23	(2)
а13	а32	а33

Если исходный определиразложить по 1-й строке, то он будет равен а11А11 +а12А12 +а13А13.

Определиразложим по 1-му столбцу, и он будет равен а11А11 + а12А12 + а13А13

Равенство (1) и (2) определителей очевидно.

2.  Определитель поменяет знак, если переставить любые 2 строки или 2 столбца.

Доказательство:

а11	а12	а13
а21	а22	а23	(1)
а31	а32	а33

Можно поменять местами 2 рядом стоящие строки: 1-ю и 2-ю (или 2-ю и 3-ю); либо через строку: 1-ю и 3-ю.

Получим

а21	а22	а23
а11	а12	а13	(2)
а31	а32	а33

Если (1) определитель разложить по 1-й строке, а (2) - по 2-й, то числовые значения не изменятся, но алгебраические дополнения во (2) определителе все поменяют знаки на противоположные, так как в (1) определителе элемент а11 стоял на «четном» месте (в 1-й строке и в 1-м столбце: 1+1=2), а во (2) определителе а11 стал на «нечетное» место (во 2-й строке и в 1-м столбце: 1+2=3). Таким образом, определитель поменял знак.

Переставим местами 1-ю и 3-ю строки. Получим определитель и разложим его по 3-й строке.

а31	а32	а33	=а11	а32	а33	- а12	а31	а33	+а13	а31	а32
а21	а22	а23	а22	а23	а21	а23	а21	а22
а11	а12	а13

Отсюда видно, что поменяли знаки все миноры элементов 1-й строки, так как в самих минорах переместились рядом стоящие строки.