Линейная алгебра (стр. 16 )

2.12.	15	4	2.13.	7	–4	2.14.	cos a	sin a
	4	43		–5	3		–sin a	cos a

2.15.

1/4

1/4

1/2

0

2.16.

–8

29

–11

2.17.

1/9

2/9

2/9

1/4

1/4

–1/2

0

–5

18

–7

2/9

1/9

–2/9

1/4

–1/4

0

1/2

1

–3

1

2/9

–2/9

1/9

1/4

–1/4

0

–1/2

2.18.	1/4	1	1	1	1	2.19.	–1	–1	2.20	3	–2
		1	1	–1	–1		2	3		5	–4
		1	–1	1	–1
		1	–1	–1	1

2.21.	1	2	2.22.	6	4	5	2.23.	1	2	3	2.24.	24	–136
	3	4		2	1	2		4	5	6		–38	186
				3	3	3		7	8	9

3.1. x = 2, y = 3 3.2. x = 16, y = 7 3.3. x = –b, y = –2/3a 3.4. x = 1, y = 3,

z = 5 3.5. x = 3, y = 1, z = –1 3.6. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 2, x4 = 0 3.7. x1 = 5,

x2 = 4, x3 = 3, x4 = 2, x5 = 1 3.8. Бесконечное множество решений

3.9. x1 = 2, x2 = –3/2, x3 = 4, x4 = 3, x5 = 5/2 3.10. Система не совместна

3.11. 2 3.12. 3 3.13. 5 3.14. 6 3.15. (–1, 3, –2, 2)Т

3.16.

3.17.

3.18. Если l(l + 3) ¹ 0, то ; если l = –3, то система не совместна; если l = 0, то х = (1 – С1 – С2, С1, С2)Т

Приложение 2

Некоторые сведения из теории множеств.
Комбинаторика.
Перестановки и подстановки

Рассмотрим упорядоченное множество из n элементов. Пусть это будет множество натуральных чисел

1, 2, 3, …, n.

Установленный в конечном множестве порядок называют перестановкой его элементов. Число перестановок конечного множества элементов зависит только от числа элементов. Для множества из n элементов число перестановок обозначают Рn

Рn = 1 × 2 × 3 × …× (n – 1) n = n! (читается n-факториал)

Рассмотрим некоторую перестановку множества из n элементов

(… i … j …).

Числа i и j называются инверсией, если i в перестановке стоит раньше, чем j, но i < j.

Если число инверсий в перестановке четное, то и перестановка называется четной, если нечетное число инверсий, то и перестановка называется нечетной.

Например, n = 5, тогда (1, 2, 3, 4, 5) – одна из возможных 5! перестановок этого множества. Очевидно, что в этой перестановке нуль инверсий.

Рассмотрим какую-нибудь другую перестановку множества из пяти элементов. Например,

(3, 5, 2, 1, 4)

Перечислим пары чисел, которые составляют инверсии

3 и 2, 3 и 1, 5 и 2, 5 и 1, 5 и 4, 2 и 1.

Таким образом, в этой перестановке число инверсий – 6. Перестановка – четная.

Очевидно, что максимальное число инверсий будет соответствовать перестановке, где все элементы взяты в обратном порядке:

(5, 4, 3, 2, 1)

Для перестановки множества из 5 элементов максимальное число инверсий 10.

Часто возникает вопрос: чему равно максимальное число инверсий в перестановке множества из n элементов?

Очевидно, что минимальное число инверсий 0 соответствует прямой перестановке (1, 2, 3, …, n), а максимальное число соответствует обратной перестановке (n, n – 1, n – 2, …, 3, 2, 1).

С элементом n составляют инверсии остальные (n – 1)-элементы, с
(n – 1) – остальные (n – 2)-элементы, стоящие за ним справа, и т. д.

Тогда

[max число инверсий] = (n – 1) + (n + 2) + … + 2 + 1 = Sn–1,

где Sn–1 – сумма (n – 1)-числа натурального ряда, которую можно вычислить как сумму убывающей арифметической прогрессии, начинающейся с (n – 1) с разностью прогрессии (- 1):

Таким образом, число инверсий изменяется от 0 до .

Количество четных и нечетных перестановок очевидно одинаково.

Если написать одну перестановку под другой, получим подстановку из n элементов. Такая запись выглядит следующим образом:

a1 a2 … an

1 2 … n, где

(a1 a2 … an) – одна из (n!) перестановок множества.

Часто говорят, «a1» переходит в «1», «a2» - в «2», …, «an» - в n.

Очевидно, что в подстановке из n элементов можно перебрать n! различных подстановок.

По общему числу инверсий подстановки разделяются на четные и нечетные. Например,

1.	В верхней перестановке 0 инверсий, в нижней – 10. Общее число инверсий – 10, подстановка – четная.
2.	Эта запись не является подстановкой, т. к. нижняя перестановка не является перестановкой множества из 5 элементов

Определитель n-го порядка

На примере определителя III порядка рассмотрим определитель n-го порядка как алгебраическую сумму произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца с точки зрения комбинаторских задач конечного множества.

Итак,

D3´3 =	а11	а12	а13	=а11а22а33 - а13а22а31 - а12а21а33 + + а12а31а23 + а13а21а32 - а11а23а32
а21	а22	а23
а31	а32	а33

В каждое произведение взят один элемент из каждой строки и каждого столбца, то есть в определителе III порядка элементов, входящих в произведение, три. Очевидно, что в определителе n-го порядка элементов, входящих в произведение, n.

Таких произведений из 3-х элементов (из n элементов) можно перебрать столько, сколько существует различных подстановок, соответствующих индексам элементов, входящих в произведение.

Действительно, в определителе III порядка произведений, входящих в алгебраическую сумму, 6, то есть (3!). Очевидно, что в определителе n-го порядка произведений – n!.

Из (n!) произведений с «плюсом» и с «минусом» – одинаковое количество, причем знак произведения соответствует четности (нечетности) подстановки индексов элементов, участвующих в произведении: если подстановка четная, то знак «плюс», если нечетная, то «минус».

В определителе III порядка каждому произведению соответствует подстановка индексов:

а11а22а33	®	1	2	3	, [число инверсий] = 0;
	1	2	3
- а13а22а31	®	1	2	3	, [число инверсий] = 3;
	3	2	1
- а12а21а33	®	1	2	3	, [число инверсий] = 1;
	2	1	3
а12а31а23	®	1	3	2	, [число инверсий] = 2;
	2	1	3
а13а21а32	®	1	2	3	, [число инверсий] = 2;
	3	1	2
- а11а23а32	®	1	2	3	, [число инверсий] = 1.
	1	3	2

Видно, что знак произведения соответствует четности подстановки индексов.

С учетом данного подхода к понятию определителя n-го порядка отметим, что произведение элементов главной диагонали входит в алгебраическую сумму произведений со знаком «плюс» для любого n, так как индексы элементов, участвующие в произведении, составляют прямую подстановку.

1	2	3	…	n	, [число инверсий] = 0.
1	2	3	…	n

Произведению элементов побочной диагонали соответствует обратная подстановка

1	2	3	…	n - 1	n	, [число инверсий] = ,
n	n – 1	n - 2	…	2	1

четность зависит от n, то есть знак произведения зависит от порядка определителя. Так, в определителе II и III порядков – «минус», в определителе IV порядка – «плюс» и так далее.