Линейная алгебра (стр. 8 )

с23=2 * 5 + 3 * 1 = 13

Аналогично были вычислены все остальные элементы.

Свойства умножения

1.  Ассоциативность умножения

(АВ)С = А(ВС)

2.  Умножение матриц не обладает коммутативностью:

АВ¹ВА, более того иногда АВ определено, а ВА нет.

3.  Если АВ = 0, то А ¹ 0, В ¹ 0

Например,

5	2	-2	3	2	2	2	=	0	0	0
-1	3	-5
9	2	-3	4	16	8	24	0	0	0
8	0	16

4.  Если АВ = АС, А ¹ 0, то в общем случае не следует, что В = С.

5.  АЕn = EmA = А

При умножении матрицы Аm´n на единичную матрицу Е, как справа (Еn) так и слева (Еm), получается сама матрица А.

6.  Дистрибутивность умножения относительно сложения

(А + В)С = АВ + ВС

Лекция 7.
Метод обращения матрицы при помощи союзной.
Матричные уравнения

Матрица А- квадратная называется невырожденной, если ΔА¹0.

Каждой квадратной невырожденной матрице А соответствует обратная матрица А-1 такая что, АА-1=А-1А=Е

Дана матрица

А=	а11	а12	…	а1n	- квадратная
а21	а22	…	а2n
…………………
аn1	аn2	…	аnn

ΔА¹0, А - невырожденная матрица.

Союзной матрицей Ã для матрицы А называется квадратная матрица n-ного порядка, составленная из алгебраических дополнений Аij элементов аij матрицы А с последующим транспонированием

Ã=				Т
А11	А12	…	А1n	=	А11	А21	: : : :	An1
А21	А22	…	А2n	А12	А22	An2
……………………….	…	…	…
An1	An2	…	Ann	А1n	А2n	Ann

Умножим А на Ã (или Ã на А)

 

А Ã=	а11А11+а12А12+…+а1nA1n	а11А21+а12А22+…+а1nA2n	…	а11Аn1+а12Аn2+…+а1nAnn	=
а21А11+а22А12+…+а2nA1n	а21А21+а22А22+…+а2nA2n	…	а21Аn1+а22Аn2+…+а2nAnn
…………………………………………………………………………………………….
аn1А11+аn2А12+…+аnnA1n	аn1А21+аn2А22+…+аnnA2n		аn1Аn1+аn2Аn2+…+аnnAnn

=	D	0	…	0	=D	1	0	...	0	=DЕ
0	D	…	0	0	1	…	0
………………	………………..
0	0	…	D	0	0	…	1

Все диагональные элементы АÃ – алгебраические суммы произведений элементов i-строки на алгебраическое дополнение элементов этой же строки – это определитель матрицы А. Остальные элементы равны 0 (по свойству 7).

Таким образом, получилось равенство:

А Ã=DЕ ½´1/D

Умножим правую и левую часть равенства на 1/D. Получим:

А´[( 1/D Ã)]=Е

АА-1=Е, следовательно

А-1=(1/D)Ã, т. к. D¹0, то А-1 существует и равна союзной матрице, умноженной на α= 1/D.

Операция нахождения обратной матрицы называется обращением.

Обратить матрицу А и сделать проверку.

 

	3	4	-8
А=	4	-9	-1	, вычислим ΔА= -237
	2	-3	4

	-39	8	-76		-39	8	-76
Составим Ã=	-18	28	-29	, А-1=(1/237)	-18	28	-29
	6	17	-43		6	17	-43

Проверка.

При проверке должно выполнятся равенство АА-1 = А-1А = Е

Проверим, например,

	-39	8	-76		3	4	-8
АА-1=- (1/237)	-18	28	-29		4	-9	-1	=
	6	17	-43		2	-3	4

	-237	0	0		1	0	0
= - 1/237	0	-237	0	=	0	1	0
	0	0	-237		0	0	1

Матричные уравнения

Рассмотрим систему линейных уравнений n-го порядка

а11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1

а21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2 (1)

а31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3

…………………………………………………………

аn1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bn

Главный определитель системы – определитель квадратной матрицы А, составленный из коэффициентов при неизвестных

А=	а11	а12	…	а1n
a21	a22	…	a2n
an1	an2	…	ann

Неизвестные (х1, х2, ..., хn) представим как матрицу – столбец

Х=	х1
х2
...
хn

Правые части уравнений представим как матрицу – столбец свободных членов

В=	b1
b2
...
bn

Тогда систему (1) можно записать в матричном виде (2)

АХ = В (2)

(2) представляет собой матричное уравнение. Если правую и левую часть этого уравнения умножить на А-1, которая существует в случае DА¹0 (кстати говоря, по правилу Крамера система совместна в случае DА¹0), тогда получим

А-1АХ = А-1В,

т. к. А-1А = Е, а ЕХ = Х, то

Х = А-1В (3)

Сопоставим решение (3) в матричном виде с правилом Крамера

А-1= (1/D) Ã

Х=(1/D) ÃВ

ÃВ=	А11	А21	: : : :	Аn1	b1	=
А12	А22	Аn2	b2
:	:	:	:
А1n	А2n	Аnn	bn

=	A11b1+A21b2+...+An1bn	=	Δх 1
A12b1+A22b2+...+An2bn	Δх 2
.....................................	:
A1nb1+A2nb2+...+Annbn	Δх n
Δх = 1	A11b1+A21b2+...+An1bn	=	b1	а12	: : : :	а1n
b2	a22	a2n
:	:	:
bn	an2	ann

Δх = 2	A11b1+A21b2+...+An1bn =	а11	b1	: : : :	а1n
a21	b2	a2n
:	:	:
an1	bn	ann

и т. д.