Линейная алгебра (стр. 5 )

Например,

5	6	6	6
6	5	4	3
6	4	5	3
6	3	4	5

В данном определителе нет единиц. Все элементы не кратные. Можно этот определитель разложить по строке (столбцу) на сумму 4х определителей 3-го порядка. Однако, если а11=5 представить, как, а все «6»-ки в 1-м столбце (или в 1-й строке), как, то

6-1	6	6	6	=	6	6	6	6	-	1	6	6	6	=	6	6	6	6	-
6-0	5	4	3	6	5	4	3	0	5	4	3	0	-1	-2	-3
6-0	4	5	3	6	4	5	3	0	4	5	3	0	-2	-1	-3
6-0	3	4	5	6	3	4	5	0	3	4	5	0	-3	-2	-1
-	5	4	3	= -6	1	2	3	-	5	4	3	=
4	5	3	2	1	3	4	5	3
3	4	5	3	2	1	3	4	5
= - 6 * 12 – 24 = - 24(3 + 1) = - 24 * 4= - 96

Здесь по свойству 4 определитель разложен на сумму двух определителей 4-го порядка, каждый из которых понижен до 3-го. Определители III порядка могут быть вычислены по правилу Саррюса, либо по теореме о разложении с использованием (или не использованием) линейных преобразований над строками (столбцами).

Лекция 4.
Системы линейных уравнений.
Метод Крамера

Системой линейных уравнений n-ного порядка называется система следующего вида:

а11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1

а21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2

………………………………………

аm1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm

(x1, x2, …xn) – n неизвестных, связанных между собой линейной зависимостью;

(b1, b2, …bm) - свободные члены;

aij – коэффициенты при j- неизвестных в i-м уравнении.

Видно, что в системе m уравнений и n неизвестных. В общем случае m¹n.

Решением системы называются конкретные числа (x1*, x2*, x3*, …, xn*), при подстановке которых в систему уравнения обращаются в тождества.

Система называется однородной, если свободные члены уравнений все равны «0».

Система может иметь одно или бесконечное множество решений. В этом случае систему будем называть совместной определенной или соответственно совместной неопределенной.

Система может не иметь ни одного решения. Такую систему будем называть несовместной. Однородная система всегда совместна, т. к. имеет, по крайней мере, одно решение. Действительно, если в уравнение однородной системы подставить х1=0, x2=0, …, xn=0, то все уравнения обратятся в тождества 0º0.

Такое нулевое решение (0, 0,….,0) будем называть тривиальным. Тем не менее, однородную систему исследуют для нахождения других, нетривиальных решений, конечно, если они существуют.

Существуют различные методы решения систем линейных уравнений.

Метод Крамера

Рассмотрим систему:

а11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1

а21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2 (1)

а31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3

…………………………………………………………

аn1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bn

Главным определителем системы Δ будем называть определитель n-го порядка, составленный из коэффициентов при неизвестных xj, т. е.

Δ=	а11	а12	…	а1n
a21	a22	…	a2n
а31	а32	…	а3n
an1	an2	…	ann

b1	- правые части всех уравнений (свободные члены) назовем столбцом свободных членов.
b2
b3
M
bn

Из школьного курса известно, что правую и левую часть уравнений можно умножить на одно и то же число, а также уравнения системы можно складывать (вычитать) друг с другом. От этого система не изменится.

Тогда умножим правую и левую часть 1-го уравнения системы на алгебраическое дополнение А11 элемента а11 главного определителя Δ; правую и левую часть 2-го уравнения - на А21 элемента а21 и т. д., а затем сложим все уравнения. Имеем:

а11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 *А11

+ а21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2 *А21

…………………………………………………………

аn1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bn *An1

(a11A11+a21A21+…+an1An1)x1 + (a12A11+a22A21+…+an2An1)x2 + …. +(a1nA11+a2nA21+…+annAn1)xn = b1A11+b2A21+…+bnAn1

Таким образом, каждое уравнение системы было умножено соответственно на алгебраические дополнения элементов 1-го столбца главного определителя Δ. После сложения видно, что при неизвестном х1 имеем коэффициент, равный алгебраической сумме произведений элементов 1-го столбца определителя Δ на их алгебраические дополнения. По теореме о разложении определителя такая алгебраическая сумма равна определителю Δ. При всех остальных неизвестных, начиная со второго: (х2, х3, …,хn), коэффициенты соответственно равны алгебраическим суммам произведений элементов 2-го, 3-го, …, n-го столбцов на алгебраические дополнения элементов 1-го столбца. Такие алгебраические суммы по свойству 7 равны "0". Таким образом, в левой части осталось только одно неизвестное х1. В правой части уравнения – алгебраическая сумма, соответствующая разложению определителя, у которого 1-й столбец – столбец свободных членов:

b1	a12	…	a1n	=Δx 1
b2	a22	…	a2n
M	M		M
bn	an2	…	ann

Δх - добавочный при неизвестном х1. Таким образом, имеем

1

Δ*х1=Δх

1

Если правую и левую части каждого уравнения системы (1) умножить на алгебраические дополнения элементов 2-го столбца соответственно, а затем сложить, то в левой части уравнения–суммы обнулятся коэффициенты при всех неизвестных, кроме х2. Коэффициент при неизвестном х2 будет равен:

a12A12 + a22A22 +…+ an2An2 = Δ

Это главный определитель Δ, разложенный по элементам 2-го столбца.

В правой части уравнения–суммы будем иметь

b1A12+b2A22+…+bnAn2,

что соответствует разложению по второму столбцу определителя

a11	b1	…	a1n	=Δx 2
a21	b2	…	a2n
M	M		M
an1	bn	…	ann

Δх - добавочный при неизвестном х2.

2

Далее, если умножить правую и левую часть уравнений на алгебраические дополнения 3-го, 4-го, …, n-го столбцов, а затем сложить, то очевидно, что этими действиями исключим по очереди все неизвестные, кроме (х3, х4,…,xn). Нетрудно видеть, что все добавочные определители – это определители, полученные из главного путем замены соответствующего столбца на столбец свободных членов.

Таким образом, система (1) преобразовалась в систему:

Δ*х1=Δх

1

Δ*х2=Δх (2)

2

…………………

Δ*х1=Δх

n

(2) – называются уравнениями Крамера. Эти уравнения (2) позволяют найти единственное решение системы (3) в случае, когда

Δ¹0, Δх ¹0, Δх ¹0,…, Δх ¹0,

1 2 n

а также исследовать систему на совместность.

х1= Δх /Δ

1

х2= Δх /Δ (3)_

2

…………

хn= Δх /Δ

n

Итак, справедливы следующие 4 случая:

1. Δ¹0, Δх ¹0, Δх ¹0,…, Δх ¹0,

1 2 n

Система совместна и определена, т. е. имеет единственное решение (3).

2. Δ=0, Δх ¹0, Δх ¹0,…, Δх ¹0,

1 2 n

В этом случае система не совместна.

3. Δ¹0, Δх =0, Δх =0,…, Δх =0,

1 2 n

Система имеет тривиальное решение.

4. Δ=0, Δх =0, Δх =0,…, Δх =0,

1 2 n

Уравнения Крамера (2) обращаются в этом случае в следующий вид:

0х1 =0

0х2 =0

………

0хn =0

Очевидно, что система в этом случае не определена однозначно, т. е. существует бесконечное множество решений.

Пример 1. Решить систему методом Крамера.

х1 + х2 – х3 = 3

х1 + 2х2 + 3х3 = - 4

- 2х1 – х2 + х3 = 0

Главный определитель Δ – определитель, составленный из коэффициентов при х1, х2, х3

	1	1	- 1
Δ=	1	2	3	= - 5
	- 2	- 1	1

Составим и вычислим добавочные определители

Δх , Δх, Δх.

1 2 3