Линейная алгебра (стр. 17 )

Бином Ньютона.
Метод математической индукции

Формула бинома Ньютона:

- биномиальные коэффициенты

может быть доказана при помощи метода математической индукции.

Метод заключается в следующем:

1)  проверяется справедливость утверждения при n = 1, 2, 3, 4, …;

2)  делается предположение, что утверждение справедливо только до некоторого n;

3)  доказывается, что утверждение справедливо для следующего (n – 1), а, следовательно, справедливо для любого n.

Этот метод основан на принципе, который является аксиомой арифметики натуральных чисел.

Продемонстрируем этот метод на примере.

Пример.

Доказать справедливость неравенства Я. Бернулли

1.  При n = 1

(1 + x)1 = 1 + x,

n = 2

(1 + х)2 = 1 + 2х + х2 ³ 1 + 2х, т. к. х2 ³ 0

и так далее.

2.  Предположим, что неравенство Я. Бернулли справедливо только для k членов натурального ряда

(1 + x)k ³ 1+ kx

(*)

3.  Докажем, что неравенство (*) справедливо для следующего (k + 1) натурального числа. Умножим правую и левую часть неравенства (*) на
(1 + х), т. к. (1 + х) > 0 (по условию х > - 1), то неравенство не меняет знак:

(1 + x)k+1 ³ (1 + kx)(1 + x)

(1 + x) k+1 ³ 1 + (k + 1)x + kx2,

так как kx2 ³ 0, то тем более справедливо:

(1 + x) k+1 ³ 1 + (k + 1)x,

то есть неравенство Я. Бернулли справедливо для (k + 1) натурального числа, то справедливо для любого n.

Докажем справедливость формулы бинома Ньютона при помощи метода математической индукции.

1.  Проверим справедливость формулы

при n = 0

(a + b)0 = 1;

n = 1

(a + b) 1 = a + b;

n = 2

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2;

n = 3

(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;

n = 4

(a + b) 4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

n = 5

(a + b) 5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

и так далее.

Коэффициенты каждого члена разложения называются биномиальными коэффициентами.

Нетрудно проверить, что любой коэффициент разложения может быть вычислен по формуле

(читается: С из «n» по «k»)

Значения биномиальных коэффициентов могут быть последовательно определены из так называемого треугольника Паскаля:

n
0														1
1		1	1
2		1	2	1
3		1	3	3	1
4		1	4	6	4	1
5		1	5	10	10	5	1
6		1	6	15	20	15	6	1
7		1	7	21	35	35	21	7	1
…

Каждый коэффициент образуется путем сложения двух стоящих над ним (справа и слева). Крайние значения для любого n = 1, так как

Видно, что биномиальные коэффициенты для любого n симметричны. Действительно, так как

то

2.  Предположим, что формула бинома верна для первых n членов натурального ряда, то есть

3.  Докажем, что формула верна для (n + 1) натурального числа:

Структура полученной формулы совпадает со структурой бинома Ньютона, докажем, что коэффициенты полученного разложения представляют собой биномиальные коэффициенты для (n + 1) натурального числа.

Таким образом, формула бинома Ньютона справедлива для любого n.

Бином Ньютона и биномиальные коэффициенты играют огромную роль во всех разделах высшей математики.

Так, например, в комбинаторике показывают числами сочетаний (без повторений) групп по «k» элементов из множества «n» элементов.

Примеры.

1.  Сколькими способами можно рассадить группу из 28 человек по двое за парту?

Всего 378 способов рассадить по двое группу из 28 человек.

2.  Сколько миноров k–го порядка Мk содержится в k строках (или k столбцах) в определителе n–го порядка?

Очевидно, что всего таких миноров Мk .

Теорема Лапласа

Теорема. Определитель n–го порядка может быть разложен одновременно по k строкам (или k столбцам), при этом он равен алгебраической сумме произведений всех миноров k–го порядка Мk на их алгебраические дополнения Аk.

Определение минора k–го порядка было рассмотрено в лекции 9.

Минором k–го порядка Мk называется определитель k–го порядка, оставшийся после вычеркивания любых k строк и k столбцов.

При этом невычеркнутые (n–k) строк и (n–k) столбцов составляют определитель (n–k)–го порядка. Назовем его минором (n–k)–го порядка и обозначим Мn–k.

По отношению к Мk Мn–k будет являться дополняющим его минором, назовем Мn–k = Мk'. Таким образом, Мk – основной минор, Мk' – дополняющий его минор.

Замечание. Если бы мы вычеркивали (n–k) строк и (n–k) столбцов, то минор Мk' был бы основной, а невычеркнутый минор k–го порядка Мk был бы дополняющий его минор, то есть

Алгебраическим дополнением минора k–го порядка Мk назовем число Аk, равное определителю дополняющего его минора Мk', взятому со знаком «плюс» или «минус»: «плюс», если сумма номеров вычеркнутых строк и столбцов четная, «минус» – нечетная.

Таким образом,

[сумма номеров всех вычеркнутых строк и столбцов]

Итак, определитель n–го порядка D по теореме Лапласа может быть разложен одновременно по k строкам (или k столбцам).

Замечание. Основная теорема о разложении может рассматриваться как частный случай теоремы Лапласа при k = 1.

Теорему Лапласа выгодно применять для вычисления определителей, содержащих симметрично расположенные нули.

Продемонстрируем применение теоремы Лапласа на примерах.

Примеры.

1. 

 

D4 =	0	1	1	0
– 1	2	2	1
3	4	4	3
0	2	3	0

Разложим этот определитель по 2–м строкам: первой и четвертой (т. е. вычеркнем 1–ю и 4–ю строки).

В вычеркнутых строках содержится С42= 6 миноров 2–го порядка М2, но только один из этих миноров не равен нулю: он содержится в 1–й и 4–й строке и 2–м и 3–м столбце, остальные равны нулю из–за симметрично расположенных нулей. Тогда

D4 =	1	1		– 1	1	(– 1)1+4+2+3 = – 6
2	3		3	3

2.   

Список рекомендуемой литературы

1.  Виноградов геометрия. – М., «Наука», 1983.

2.  Курош алгебра. – М., «Наука», 1962.

3.  Проскуряков задач по линейной алгебре. – М., «Наука», 1978.

4.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. – М., «Высшая школа», 1997.

5.  , Демидович задач по математике, ч.1. – М., «Наука», Главная редакция физ.-мат. литературы, 1993.