Линейная алгебра (стр. 7 )

1.  m = n. А – квадратная матрица.

Только квадратной матрице соответствует определитель D.

Среди квадратных матриц можно рассмотреть следующие типы матриц:

1)  верхняя треугольная,

 

а11	а12	…	а1n	или	а11	а12	…	а1, n-1	а1n
0	а22	…	а2n	а21	а22	…	а2, n-1	0
……………………	…………………………………
0	0	…	аnn	аn1	0	…	0	0

элементы которой ниже главной или побочной диагоналей равны 0;

2)  нижняя треугольная,

 

а11	0	…	0	или	0	0	…	0	а1n
а21	а22	…	0	0	0	..	а2,n-1	а2n
…………………………..	…………………………………
аn1	аn2	…	аnn	аn1	аn2	…	аn, n-1	аnn

элементы которой выше главной или побочной диагоналей равны 0;

3)  диагональная,

 

а11	0	…	0	или	0	0	…	а1n
0	а22	…	0	…………………………….
……………………………..	0	аn-1,2	…	0
0	0	…	аnn	аn1	0	…	0

у которой элементы главной или побочной диагонали отличны от нуля. Среди диагональных матриц особое место занимает единичная матрица.

 

Е =	1	0	0	…	0
0	1	0	…	0
………………………………
0	0	0	…	1

Примечание. Нетрудно видеть, что определитель верхней, нижней треугольной, а также диагональной матриц равен произведению элементов главной диагонали либо произведению элементов побочной диагонали, взятого со знаком «+» или «-», в зависимости от порядка матрицы. (Произведению элементов главной диагонали всегда имеет знак «+», независимо от порядка.)

2.  m = 1. Матрица А=[ аij]1´n= (а11 а12 ….. а1n) – матрица строка.

3. n=1. Матрица В=[ bij]m´1=	b11	- матрица столбец
b21
…
bm1

4. m ≠ n. Матрица A = [ aij ]m´n – прямоугольная матрица.

Действия над матрицами

Над матрицами можно производить следующие алгебраические действия:

·  сложение (вычитание);

·  умножение на число;

·  умножение матрицы на матрицу;

·  обращение квадратной матрицы.

Принято обозначать матрицы большими буквами латинского алфавита: A, B, C, …, X, Y; элементы матриц – малыми буквами латинского алфавита: aij, bij, cij,…, xij, yij; числа – малыми буквами греческого алфавита: α, β, …, χ.

Справедливо следующее утверждение:

Матрица A = [ aij ]m´n равна матрице B = [ bij ]m´n, если они одинакового размера и соответствующие элементы равны, т. е. aij = bij

Суммой матриц А+В называется

Матрица с элементами Сij = aij + bij. Сложить можно матрицы только одинакового размера, при этом матрица – сумма имеет размер матриц А и В.

Например,

А =	1	2	3	, В =	-1	2	-3
0	0	0	0	1	0
А + В =	0	4	0
0	1	0

Сложение произведено поэлементно.

 

А – В =	2	0	6
0	-1	0

Вычитание произведено поэлементно.

При умножении матрицы A = [ aij ]m´n на число α получается матрица αA = [ αaij ]m´n.

Другими словами, при умножении матрицы А на число α каждый элемент матрицы А умножается на это число α.

Например,

А =	1	2	, α = 3
4	5
6	-7

αА =	3	6
12	15
18	-21

Очевидно что, если квадратную матрицу Аn´n умножить на число α, то определитель этой матрицы увеличится в αn раз.

А=	а11	а12	…	а1n	, ΔА=Δ
а21	а22	…	а2n
……………………….
аn1	аn2	…	аnn
αА=	αа11	αа12	…	αа1n	=αn	а11	а12	…	а1n	αnΔ
αа21	αа22	…	αа2n	а21	а22	…	а2n
……………………….	…………………….
αаn1	αаn2	…	αаnn	аn1	аn2	…	аnn

Справедливы следующие свойства сложения и умножения матрицы на число:

1.  Коммутативность

А + В = В + А

2.  Ассоциативность

(А + В) + С = А + (В + С)

3.  Среди матриц одинакового размера имеется такая матрица, что

А+В=0,

где 0 – нулевая матрица (состоящая из одних нулей). Тогда

А= - В,

Матрица (-В) является противоположной для матрицы А, все элементы

bij = - aij

4.  Дистрибутивность сложения относительно умножения матрицы на число

(λ + μ)А = λА + μА, а также λ(А + В) = λА + λВ

При умножении матрицы А на матрицу В

получается матрица АВ, при этом

A = [ aij ]m´q, B = [ bij ]q´n

AB = [ cij ]m´n.

Каждый элемент АВ cij получается как алгебраическая сумма произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

 

…………………	: : : :	: : : :	b1j	: : : :	=	……………….
…………………	b2j	…………………
ai1	ai2	…	aiq	:	…	…	cij	…
…………………	bqj	………………..

Cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aiqbqj

Например,

А=	1	- 1	, В=	- 1	3	5
2	3	2	- 4	1
4	5
	- 3	7	4
АВ=	4	- 6	13
	6	-8	25

с23 =13 получился так: