Математика (стр. 12 )

2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида

(8)

называется однородным дифференциальным уравнением. Его решение может быть сведено к решению уравнения с разделяющимися переменными. Для этого введем замену:

. (9)

Тогда: и уравнение для относительно принимает вид:

Или, разделив переменные:

. (10)

Пример 3. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. Разделим обе части равенства на :

.

Сделаем замену: , тогда уравнение принимает вид:

Интегрируя обе части, получим:

,

,

и общий интеграл уравнения имеет вид:

.■

3. Уравнения в полных дифференциалах

Если в дифференциальном уравнении

(11)

функции и удовлетворяют условию то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Т, е. существует функция такая, что

(12)

Подставляя соотношение (12) в уравнение (11), получим:

,

Откуда следует, что

.

Получили общий интеграл уравнения (11). Тогда функция имеет вид:

(13)

Где – произвольные значения, входящие в область определения функций и , - произвольная постоянная.

Пример 4. Решить задачу Коши для уравнения

,

при начальных условиях: .

Решение. Проверим, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах. Для этого вычислим и :

.

Следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах и для его решения необходимо найти функцию . Пусть , тогда

Так как , получим:

.

Константу найдем из начального условия:

.

Тогда решение задачи Коши имеет вид:

.■

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида

(14)

называется линейным неоднородным уравнением первого порядка.

Если , то уравнение принимает вид:

(15)

и называется линейным неоднородным уравнением первого порядка.

Одним из методов решения линейных неоднородных уравнений первого порядка является метод вариации произвольной постоянной.

Он заключается в том, что решение неоднородного уравнения(14) можно получить из общего решения соответствующего однородного уравнения (15), заменяя произвольную постоянную функцией .

Однородное уравнение решается методом разделения переменных:

.

Интегрируя обе части уравнения, получим:

.

Потенцируя обе части уравнения и заменяя , получим:

. (16)

Будем считать, что , тогда

. (17)

Дифференцируя, получим:

. (18)

Подставим (17) и (18) в исходное уравнение (14):

,

откуда

.

Дифференцируя обе части уравнения, найдем :

,

где – константа.

Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид:

. (19)

Пример 5. Найти общее решение уравнения

Решение. Решим сначала соответствующее однородное уравнение:

.

Решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

у = С (х)∙е-2х.

Тогда

.

Подставим и в исходное уравнение:

,

где – константа.

Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

■

2. Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальное уравнение вида

(1)

связывающее независимую переменную, функцию этой переменной и производные этой функции вплоть до ного порядка называется обыкновенным дифференциальным уравнением ного порядка.

Частным случаем таких уравнений являются обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, т. е. уравнения вида:

или . (2)

Задача Коши для уравнения вида (2) заключается в нахождении решения

(3)

дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям

. (4)

Рассмотрим решение некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

1.Уравнения, допускающие понижение порядка

Если в дифференциальное уравнение не входит явным образом искомая функция у, то уравнение имеет вид:

. (5)

Порядок такого уравнения можно понизить на единицу, сделав замену:

, тогда .

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. Пусть Тогда

.

Решим уравнение, разделяя переменные:

.

Так как , то

.■

Если дифференциальное уравнение не содержит явно независимую переменную :

(6)

то можно понизить его порядок на единицу, считая, что Тогда ,

т. е. вторая производная у выражается через первую производную р.

Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения , если у(1)=2, у’(1)=2.

Решение. Замена приводит к уравнению откуда:

а) р = 0, у’ = 0, у = С, но у’ (1)=2 ≠ 0, значит, в этом случае решения нет;

б)

Тогда

Следовательно, решение задачи Коши имеет вид: ■

2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида :

(7)

где , называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения вида (7) имеет вид:

, (8)

где , а и - пара фундаментальных решений уравнения (7).

Фундаментальные решения имеют вид , где корень характеристического уравнения .

В зависимости от вида корней характеристического уравнения возможны три случая общего решения уравнений вида (7):

1. если , т. е. дискриминант характеристического уравнения , то общее решение уравнения (7.) имеет вид:

; (8)

2. если , т. е. дискриминант характеристического уравнения , то общее решение уравнения (7) имеет вид:

; (9)

3. если , т. е. дискриминант характеристического уравнения , то общее решение уравнения (7) имеет вид:

(10)

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:

общее решение уравнения имеет вид (8):

.■

Пример 4 Найти общее решение уравнения

Решение.

Составляем характеристическое уравнение :

,

И общее решение уравнения записывается в виде (10):

■.

3. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Дифференциальное уравнение вида

, (11)

где , называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение неоднородного линейного уравнения имеет вид

, (12)

где общее решение соответствующего однородного уравнения, а частное решение неоднородного уравнения.

В случаях, когда правая часть уравнения (11) имеет специальный вид:

, (13)

где многочлены от степени , частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

(14)

где многочлены от степени с неопределенными коэффициентами.

Множитель в том случае, когда являются корнями кратности характеристического уравнения

Таким образом, для нахождения общего решения неоднородного уравнения необходимо сначала решить соответствующее однородное уравнение, затем пользуясь методом неопределенных коэффициентов найти частное решение неоднородного уравнения и записать его общее решении в виде (12).

Пример 5 Найти решение уравнения при начальных условиях

Решение.

1. Найдем сначала общее решение однородного уравнения

Составим характеристическое уравнение:.

Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:

.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

.

Рассмотрим правую часть исходного уравнения: . Это частный случай выражения (13) при . Так как являются корнями характеристического уравнения кратности 2, то частное решение будем искать в виде:

(15)

Для того, чтобы подставить частное решение (15) в исходное уравнение, вычислим:

.

Подставляя в исходное уравнение, получим:

,

и частное решение имеет вид: .

Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

. (16)

Для решения задачи Коши подставим начальные условия в соотношение (16): .

И решение задачи Коши имеет вид:

.

§3. Системы однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

Пусть задана система двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

(1)

где искомые функции.

Введем следующие обозначения:

,

Тогда систему уравнений можно записать в виде матричного уравнения:

(2)

Для решения этого уравнения составляем характеристическое уравнение:

,

(3)

Из этого уравнения находятся характеристические числа (собственные значения матрицы) . Если корни этого уравнения действительные, то решением системы (1) будут функции вида , причем произвольные постоянные С3 и С4 можно выразить через С1 и С2, подставив полученные функции в систему.

Пример 1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений:

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Следовательно,

Тогда

Подставим полученные выражения в первое уравнение системы:

,

откуда

Итак, общее решение системы:

■

Замечание. При корней характеристического уравнения (3) решением системы (1) будут функции и , где λ – корень уравнения (3). Связь между С1, С2 и С3, С4 определяется аналогично предыдущему случаю.

Если , то решение системы (1) имеет вид:

РЯДЫ

Аналитическое выражение, имеющее формально вид суммы, содержащей бесконечно много слагаемых, называется бесконечным рядом или, короче, рядом.

§1. Сумма ряда и сходимость

Числовой ряд

(1)

называется сходящимся, если существует конечный предел , который называется суммой ряда, где величина - частичная сумма ряда.

В противном случае ряд (1) называется расходящимся.

Необходимое условие сходимости ряда: ряд сходится, если

Пример1.

Исследовать ряд 1-1+1-1+….+.

Здесь =1, =1_1=0, =1-1+1=1, ==0.

Легко видеть, что последовательность частичных сумм:

, … не стремиться ни к какому пределу.

Следовательно, ряд расходится.

Пример 2..

Исследовать ряд I+2+3+…n+…=,

, …

При nчастичная сумма . Ряд расходится.

Пример 3.

Исследовать ряд

Здесь ,,…

Применяя формулу для суммы n членов геометрической прогрессии

, получим

Переходя к пределу при , получим

Ряд сходится, .

2. Признаки сравнения для рядов с положительными членами

Пусть, кроме ряда (1) имеем ряд с положительными членами

(2)

Если при выполнено неравенство , то

1)  Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1);

2)  Из расходимости ряда(1) следует расходимость ряда (2).

В частности, если и

Тогда : 1) если ряд (2) расходится и , то и ряд (1) расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Члены данного ряда меньше соответствующих членов заведомо сходящегося ряда ( геометрической прогрессии со знаменателем ) или равны им : Это следует из того, что Значит Данный ряд сходится.

Пример 5. Исследовать сходимость гармонического ряда

Как известно, для любого (т. к. стремится к e возрастая). Логарифмируя обе части этого неравенства, получим или для любого .

Ряд с общим членом расходится, т. к.

Следовательно, расходится и гармонический ряд ( по признаку сравнения).

Пример 6 .Исследовать стоимость ряда с общим членом . Этот ряд расходится. Это следует из сравнения с гармоническим рядом , т. к. гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

§3. Признак сходимости Даламбера

Если для ряда (2) то при ряд (2) сходится, при расходится, а при вопрос о сходимости ряда остается открытым и требуется дополнительное исследование

Пример 7. Ряд расходится, т. к.

При этом члены данного ряда возрастают с ростом n.

Заметим, что данный ряд расходится, т. к. (не выполнен необходимый признак сходимости).

Пример 8. Рассмотрим ряд с положительными членами

Этот ряд можно переписать в следующей форме …

Здесь поочерёдно принимает значения 1, 4,

; легко видеть, что отношение не имеет предела при . В таком случае признак Даламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда. Заметим, что данный ряд расходится, т. к. общий член не стремится к нулю при .

§4. Интегральный признак сходимости Коши

Если неотрицательная невозрастающая непрерывная функция, тогда ряд сходится или расходится одновременно с интегралом.

Пример 9. Докажем, что ряд с общим членом сходится при и расходится при . Действительно, пусть ; эта функция непрерывна, положительна и не возрастает для (или для ), причём выполнено условие . В нашем случае ; он сходится при и расходится при . Действительно, если . Если , то. Под наш пример приводит к так называемому гармоническому ряду . В силу сказанного выше, гармонический ряд расходится.