Математика (стр. 15 )

Направление ротора – это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение по сравнению с циркуляцией вокруг любого другого направления.

В поле скоростей вращающегося тела ротор характеризует угловую скорость вращения (с точностью до числового множителя).

Пример 11. Вычислить циркуляцию вектора вдоль окружности x2+y2=1, z=0 в положительном направлении.

Решение. В этом случае Следовательно,

по формуле Стокса

Ответ: Ц=.

Пример12. Вычислить ротор векторного поля: = y2- x2 +z2.

Решение.

.

Ответ: .

9. Классификация векторных полей

1.  Соленоидальное поле

Векторное поле называется соленоидальным, если в каждой его точке дивергенция поля равна нулю, т. е. .

Примерами соленоидальных полей являются магнитное поле, поле скоростей вращающегося тела и т. д.

Свойства соленоидального поля

1.)  Поток вектора поля через любую замкнутую поверхность равен нулю.

2.)  Соленоидальное поле является ротором некоторого вектора, т. е. если , то существует другое поле , для которого .

3.)  В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение.

2.  Потенциальное поле

Векторное поле называется потенциальным, если во всех точках поля ротор вектора поля равен нулю, т. е. .

Одним из примеров потенциального поля является электростатическое поле напряженности точечных зарядов.

Свойства потенциального поля

1.)  Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.

2.)  В потенциальном поле криволинейные интегралы вдоль всех кривых, имеющих общие начала и концы имеют одинаковые значения (криволинейный интеграл не зависит от формы кривой).

3.)  Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции, т. е.

Такую функцию называют потенциалом векторного поля .

Потенциал векторного поля может быть найден по формуле

(27)

где – координаты фиксированной точки, а – координаты произвольной точки.

Пример 13 (типовая задача контрольной работы). Проверить, является ли векторное поле потенциальным и соленоидальным? В случае потенциальности поля найти его потенциал.

Решение. Вектор имеет координаты . В нашем случае

1. Проверим, является ли поле соленоидальным. Для этого найдем :

,

следовательно, поле не является соленоидальным.

2. Проверим, является ли поле потенциальным. Для этого вычислим :

следовательно, векторное поле является потенциальным.

3. Найдем потенциал поля, воспользовавшись формулой (27). Пусть - фиксированная точка. Тогда

где – постоянная, .

Ответ: поле потенциально и не соленоидально, потенциал поля где .

ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1. Основные определения

Введем некоторые вспомогательные определения.

Пусть задана функция действительного аргумента, принимающая комплексные значения. Она называется оригиналом, если удовлетворяются следующие три условия:

1)  функция определена на всей числовой оси и кусочно-непрерывна, т. е. на всяком конечном интервале имеет конечное число точек разрыва первого рода;

2)  если , то ;

3)  имеет ограниченный рост, т. е. возрастает не быстрее показательной функции: существуют такие постоянные М  >  0 и , что при t>0.

Величина ( – нижняя грань всех чисел ) называется показателем роста функции . Для любой ограниченной функции, являющейся оригиналом можно принять =0. Совокупность всех оригиналов называется пространством оригиналов.

Каждому оригиналу ставится в соответствие его изображение

F(p) = (1)

Здесь p = a+b – комплексное переменное. Интеграл в правой части формулы (1) носит название интеграла Лапласа.

Переход, определяющий изображение по оригиналу , называется преобразованием Лапласа.

Обычно оригиналы обозначаются строчными буквами, а их изображения – соответствующими заглавными буквами. Тот факт, что есть изображение , символически записывают так: или .

Совокупность всех изображений называется пространством изображений.

Закон соответствия и классы оригиналов и изображений выбраны таким образом, что некоторым операциям над оригиналами соответствуют более простые операции над изображениями. В частности, линейное дифференциальное уравнение после преобразования по Лапласу переходит в алгебраическое уравнение, которое легко решается. Переходя затем от изображений к оригиналам, можно найти решение дифференциального уравнения.

2. Свойства преобразования Лапласа

1. Теорема 1 (теорема линейности). Для любых комплексных постоянных и

(2)

(здесь и всюду в дальнейшем считаем , ).

2. Теорема 2 (теорема подобия). Для любого постоянного

. (3)

3. Дифференцирование оригинала. Если функции, , …, являются функциями – оригиналами и , то

,

,

……………………………………….

,

где под (к=1,2,..,n-1) понимаем .

4. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на (–t) оригинала

(4)

или, вообще

. (5)

5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на р, т. е. если , то

. (6)

6. Интегрирование изображения. Если интеграл сходится, то он служит изображением функции :

. (7)

7. Теорема 3 (теорема смещения). Если , то для любого комплексного

. (8)

8. Теорема 4 (теорема запаздывания). Если , то для любого положительного

. (9)

9. Теорема 5 (теорема о свертке). Произведение двух изображений и также является изображением, причем

. (10)

Интеграл в правой части формулы называется сверткой функции и , и обозначается символом *.

10 Теорема 6 (первая теорема разложения). Если – аналитическая функция в окрестности бесконечно удаленной точки и равна в ней нулю и если лорановское разложение в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид =, то оригиналом служит функция

=. (11)

Причем этот ряд сходится при всех t.

11. Теорема 7 (теорема единственности). Преобразование Лапласа F(p)= единственно в том смысле, что две функции и , имеющие одинаковые преобразования Лапласа, совпадают во всех точках непрерывности для всех .

§3. Таблица изображений основных элементарных функций

№	Оригинал	Изображение
I	1
II
III	С
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X	t
XI	t
XII
X III
X IV

4. Нахождение оригиналов по их изображениям

Для нахождения оригинала по известному изображению применяются следующие приемы:

1.  Если = есть правильная рациональная дробь, то разлагают эту дробь на сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой дроби, используя свойства 1) – 9)преобразования Лапласа.

2.  С помощью второй теоремы разложения, которая утверждает, что при определенных условиях, наложенных на , оригиналом для служит функция

,

Где сумма вычетов берется по всем особым точкам функции .

5. Операционный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

. (14)

Требуется найти решение при и начальных условиях

, ….

Пусть –решение: т. е. при подстановке в уравнение получим тождество. Значит, функция, стоящая в левой части уравнения (14) и имеют одно и то же L – изображение. Но,

,

поэтому - .

Получаем изображающее уравнение или операторное уравнение. Его можно решить и вернуться к оригиналу. Это и будет искомое решение .

Пример 1. . Найти решение дифференциального уравнения

, удовлетворяющего начальным условиям , .

Решение.

Имеем

Итак, операторное уравнение имеет вид

Отсюда,

,

тогда

.

Обозначим через . Тогда имеем:

.

Разложим полученную дробь по методу неопределенных коэффициентов:

,

.

Сравним числители двух дробей и найдем коэффициенты А, В и С:

,

, , , .

.

Вернемся к оригиналу:

.

Ответ:

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Классическое определение вероятности

Определение.1. Вероятностью события А называется число

,

где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А, а n – общее число элементарных исходов испытания, если эти элементарные исходы равновозможные и образуют полную группу.

Для решения задач теории вероятности используют понятие числа сочетаний.

Определение 2. Числом сочетаний из n элементов по k в каждом, называют число соединений, в каждое из которых входит k элементов, взятых из данных n элементов и которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n по k обычно обозначается

Здесь n! (то есть n факториал) означает произведение всех натуральных чисел от единицы до n, т. е.

Например,

Пример1. В партии из 20 деталей имеется 18 стандартных. Наудачу отобраны 5 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 4 стандартных.

Решение: Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 5 деталей из 20 деталей, то есть (числу сочетаний из 20 элементов по 5 элементов)

Число элементарных исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (что среди 5 деталей ровно 4 стандартных) можно сосчитать следующим образом: четыре стандартных детали можно взять из 18 стандартных деталей способами; при этом оставшаяся одна деталь должна быть нестандартной. Взять одну нестандартную деталь из двух нестандартных можно способами.

Итак, число благоприятствующих исходов равно

Общее число элементарных исходов

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих наступлению события к общему числу всех исходов. При этом оставшаяся одна деталь должна быть нестандартной. Взять одну нестандартную деталь из двух нестандартных можно способами.

Итак, число благоприятствующих исходов равно