Математика (стр. 16 )

Общее число элементарных исходов

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих наступлению события к общему числу всех исходов.

.

§2. Основные свойства вероятности и простейшие теоремы

Теорема 1 (сложения вероятностей несовместных событий)

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий.

Теорема 2. (умножения вероятностей независимых событий)

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Теорема 3 (умножения вероятностей зависимых событий)

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

Замечание 1. Следует обратить внимание на то, что теорема 2 является частным случаем теоремы 3, так как для независимых событий – вероятность события В при условии наступления события А, то есть условная вероятность, равна безусловной вероятности .

Теорема 4 (сложения вероятностей совместных событий)

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Замечание 2. Теоремы верны не только для двух событий, но и для большого числа событий.

Пример 2. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4 , можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

Решение. Введем обозначения событий:

Событие - ни при одном выстреле не будет промаха.

Событие - при первом выстреле не будет промаха.

Событие - при втором выстреле не будет промаха.

Событие - при i-м выстреле не будет промаха (i=1,2,3…n)

Интересующее нас событие состоит в совмещении событий ,…

, при i= 1,2,3…n

События независимы в совокупности, поэтому применим теорему умножения независимых событий.

По условию задачи : ,следовательно:

Т. к. , и получим, что .

Пусть события ,… независимы в совокупности и пусть их вероятности равны соответственно , ….

Теорема 5. Вероятность наступления события , состоящего в появлении хотя бы одного из ,…, независимых в совокупности, равна разнице между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Если все события имеют одинаковую вероятность P, то вероятность появления хотя бы одного из них

()

Пример 3. В электронную цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятность отказа элементов , , . Найти вероятность того, что тока в цепях не будет.

Решение.

Так как элементы включены последовательно, тока в цепи не будет, если откажет хотя бы один элемент.

Искомая вероятность

Теорема 6. (формула полной вероятности)

Вероятность события А, которое может наступать лишь при появлении одного из событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А :

,

где + +…+ =1

Теорема 7. (формула Байеса)

Пусть событие может наступать лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) , ,.., , которые образуют полную группу событий. Если событие уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса

(i=1,2,…n)

Пример 4. Число грузовых автомашин проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2 .Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0.1; для легковой машины эта вероятность равна 0.2. К бензоколонке подъехала машина. Найти вероятность того, что это грузовик.

Решение.

Пусть - событие, заключающееся в том, что машина подъехала на заправку. Выдвинем две гипотезы: -машина легковая. -машина грузовая. Подсчитаем вероятность того, что выбранная наудачу машина будет заправляться.

Согласно формуле полной вероятности, вероятность события A определим как:

По условию задачи условные вероятности равны соответственно:

.

Вероятности гипотез определим как тогда:

.

Событие произошло. Машина подъехала заправиться. Вероятность того, что это грузовая машина определим по формуле Байеса:

Теорема 8. (Формула Бернулли).

Пусть проводится серия из n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А равна Р (а вероятность его не наступления: q=1-p).

Тогда вероятность того, что в этой серии испытаний событие А наступит ровно k раз, равна:

.

Пример 5. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей два мальчика (вероятность рождения мальчика равна 0.51).

Решение: Обозначим через событие, состоящее в рождении мальчика. Можно сказать, что производятся испытания, при которых вероятность появления события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний и зависит от других испытаний и равна Р=0.51. Вероятность того что в пяти независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события А равна Р=0.51(q=0.49) событие наступит ровно 2 раза равна:

.

3. Непрерывные и дискретные случайные величины.

Определение 1. Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Определение 2. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные значения. Дискретная случайная величина задается таблицей или графиком, или аналитически.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Определение 3. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

.

Определение 4. Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Так же дисперсию удобно вычислять по формуле:

.

Определение 5. Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии :

.

Определение 6. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Для задания непрерывной случайной величины используют функции распределения.

Определение 7. Функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше т. е. . Иногда эту функцию называют интегральной функцией распределения. Эта функция обладает следующими свойствами:

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку

2. Функция распределения – неубывающая функция:

если >

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале равна приращению интегральной функции распределения на этом интервале:

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение равна нулю:

5. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

при

при

6. Справедливы следующие соотношения

;

Кроме интегральной функцией распределения, для описания непрерывных случайных величин используется дифференциальная функция распределения или функция плотности вероятности.

Определение 8. Плотностью вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:

.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение из интервала определяется соотношением:

Зная функцию плотности вероятности, можно найти интегральную функцию распределения:

Свойства функции плотности вероятности:

1. Плотность распределения неотрицательна, то есть

.

2. Функция плотности вероятности нормирована на единицу, т. е. несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

Определение 9. Математическое ожидание непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат всей оси , определяется так:

,

где – функция плотности вероятности случайной величины .

В частности, если все возможные значения непрерывной случайной величины принадлежат интервалу , то

Определение 10. Модой непрерывной случайной величины называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум функции плотности вероятности.

Определение 11. Медианой непрерывной случайной величины называют ее значение, которое определяется следующим соотношением:

Определение 12. Дисперсия непрерывной случайной величины определяется соотношением:

Пример 6 Дана функция распределения непрерывной случайной величины :

1. Найдем плотность распределения .

Плотность распределения равна первой производной от функции распределения

при

Заметим, что при производная не существует.

2. Найдем вероятность того, что примет значения из интервала .

а) Можно воспользоваться формулой:

б) Можно воспользоваться формулой:

3. Найдем математическое ожидание величины Х.

4. Найдем дисперсию случайной величины Х. Воспользуемся формулой:

4. Виды законов распределения.

Равномерным называют распределение вероятностей случайной величины X, если на интервале (а, b), которому принадлежат все возможные значения X, плотность сохраняет постоянное значение, а именно ; вне этого интервала .

Показательным законом или экспоненциальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, заданной плотностью

где – положительная постоянная величина.

Нормальным называют закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которой имеет вид

где a – математическое ожидание, –среднеквадратическое отклонение Х.

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу

,

где – функция Лапласа.

Вероятность данного отклонения ( т. е. вероятность того, что нормально распределённая величина отклонится от своего математического ожидания не более чем на )

Значения функции Лапласа приведены в приложении 2.

Для нормального распределения справедливо “правило трёх сигм”

Это означает, что 99,73% значений нормально распределенной величины лежит в интервале:

.

Пример 7. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение из интервала (12; 14)

Решение:

Функция плотности вероятности имеет вид: .

Для нахождения вероятности того, что нормально распределенная случайная величина примет значение из указанного интервала, воспользуемся формулой:

Значения функции Лапласа выбраны из таблицы в приложении 2.

ЦЕПИ МАРКОВА И СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

1. Марковские цепи с конечным числом состояний и дискретным временем.

Пусть некоторая физическая система может находиться в k различных состояниях А1, А…А. Изменения состояний системы могут происходить в определенные моменты времени t ,t ,…t …, называемые шагами. В другие моменты времени состояние системы не может измениться. Пусть система в некоторый начальный момент находилась в состоянии А, в момент t перешла в состояние А, в момент t - в состоянии А и т. д. Если переходы системы из состояния в состояние на каждом шаге происходят случайно, то говорят, что в системе возник случайный процесс с дискретным временем. Этот процесс может быть описан цепочкой состояний ААА…, в которые попадает система за 1,2… шагов. Важной моделью случайного процесса является марковский процесс (марковская цепь).

Случайный процесс с дискретным временем называется марковским, если на любом шаге S вероятность Р(S) перехода системы из состояния А в состояние А зависит лишь от состояния А, в которое попала система на (S-1) шаге, и не зависит от того, как и когда она в это состояние попала. Кратко это свойство формулируют так: при заданном настоящем будущее не зависит от прошлого. В силу этого марковский процесс еще называют процессом без последствия.

Возможные переходы системы из состояния в состояние удобно изображать с помощью графа состояний. Каждая вершина графа соответствует состоянию системы, а стрелка, направленная из вершины А в А, означает переход АА с вероятностью Р , которая ставится над стрелкой. Например, граф состояний, соответствующей матрице перехода , изображен на рис.1

Рис. 1

2. Марковские цепи с конечным числом состояний и непрерывным временем

Пусть в отличие от предыдущего пункта, физическая система, возможные состояния которой , может переходить из состояния в состояние не в определенные моменты времени, а в любой момент времени случайным образом. При этом возникает случайный процесс (цепь) с непрерывным временем. Если этот процесс обладает отсутствием последействия, то его называют марковским случайным процессом с непрерывным временем или непрерывной цепью Маркова. Для такого процесса вероятность перехода из состояния в состояние в любой момент времени равна нулю. Поэтому вместо вероятности перехода рассматривают плотность вероятности перехода , которая определяется как предел отношения вероятности перехода за время из состояния в состояние к длине промежутка при , т. е.

.

Плотность вероятности может быть как постоянной величиной, так и величиной, зависящей от момента времени , с которого начинается промежуток . Если плотность вероятности перехода не зависит от , марковский процесс (цепь) называется однородным. В дальнейшем будем предполагать, что рассматриваемые процессы удовлетворяют условию ординарности: в один и тот же момент времени система не может изменять своё состояние более, чем один раз.

Для многих практических случаев важно знать, как ведут себя вероятности при большом времени работы системы, т. е. при . Если при определённых условиях существуют предельные вероятности состояний

не зависящие от того, в каком состоянии система находилась в начальный момент, то это означает, что с течением времени в системе устанавливается предельный стационарный режим. Система, для которой существуют предельные вероятности, называется эргодической, а возникающий в ней случайный процесс эргодическим.

3. Процессы гибели и размножения

Процессом гибели и размножения называется марковская цепь, размеченный граф состояний которой изображен на рис 2.

Рис.2

Здесь – интенсивности переходов системы из состояния в состояние слева направо; – интенсивности переходов справа налево. Очевидно, все состояния являются существенными сообщающимися состояниями. Следовательно, существует предельное распределение вероятностей состояний, которое имеет вид:

;

; ,… ,

§4. Основные понятия и классификация систем массового обслуживания

Заявкой (требованием) назовем спрос на удовлетворение какой-либо потребности. Далее будем подразумевать, что все заявки однотипные. Удовлетворение спроса назовем обслуживанием заявки.

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система, предназначенная для обслуживания каких-либо заявок, поступающих в нее в случайные моменты времени.

Устройства, непосредственно обслуживающее заявку, называется каналом обслуживания. СМО может содержать одно такое устройство, тогда она называется одноканальной. Если СМО содержит несколько обслуживающих устройств, то она называется многоканальной.