Математика (стр. 4 )

272. xyy+ xe- y = 0, y(1) = 1.

273. xdx + ydy = 5xydy - 10 xydx, y(1) = 1.

274. xy = y - y ln ( y/x ), y(1) = 1.

275. (xy + x) dx + dy = 0, y(0) = 0.

276. y + 2xy = x e, y(0) = 1.

277. xy + y = y, y(1) = 2.

278. xy = y - x tg , y(1) = .

2+ x)y - 2xy = (1 + x), y(0) = 1.

280. xy + y = e , y(0) = 1.

Решить дифференциальные уравнения второго порядка: а) найти общее решение; б) найти решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

281.  а) xy+ y = x.

б) y - 3y = e, y( 0 ) = -2, y( 0 ) = 1 .

282.  а) 2y y - (y)= 0.

б) y - 3y + 2y = x – 1 , y( 0 ) = 1, y( 0 ) = 0.

283.  а) y - yctg x = sin x.

б) y - 6y + 9y = 5sin 3x, y( 0 ) = 0, y( 0 ) = -1.

284.  а) yctg y - 2(y)= 0.

б) y + 2y + 10y = x , y( 0 ) = -1, y( 0 ) = 0.

285.  а) yctg x - y+ 2 = 0.

б) y + 4y = 2e , y( 0 ) = 3, y( 0 ) = 0.

286.  а) 2yyy = 1 +( y).

б) y - 9y = -2cos x, y( 0 ) = 1, y( 0 ) = -1.

287.  а) x y - y= yln.

б) y - 4y + 5y = 2x – 3 , y( 0 ) = 2, y( 0 ) = 0.

288.  а) (1 – y)y + 3(y)= 0.

б) y - 4y + 3y = e , y( 0 ) = 0, y( 0 ) = 2.

289.  а) xy - (y)= 0.

б) y - 2y = x + 3 , y( 0 ) = 1, y( 0 ) = 0.

290.  а) (y + 1)y - 3(y)= 0.

б) y - 2y + 2y = cos x, y( 0 ) = 0, y( 0 ) = 0.

291. Найти закон движения материальной точки массы m, если известно, что работа силы, действующей в направлении движения, пропорциональна пути от начала движения ( коэффициент пропорциональности k ).

292. Ложка пущена со скоростью 4 км/ч через реку и прибыла на другой берег со скоростью 2км/ч через 6 мин. Сила сопротивления воды пропорциональна квадрату скорости. Найти закон движения лодки и ширину реки.

293. У моторного судна при скорости 10 км/ч отключается мотор. Отрицательное ускорение, сообщаемое лодке сопротивлением воды, пропорционально скорости. Найти закон движения лодки.

294. Сила упругости, возникающая при растяжении пружины, пропорциональна увеличению ее длины и равная 1 Н, когда длина пружины увеличивается на 1 см. Найти закон движения груза, если его оттянуть книзу, а затем отпустить.

295. Кривая проходит через точку А ( 1; -2 ) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности k = 2. Найти уравнение кривой.

296. Поезд, масса которого вместе с тепловозом равна M, движется прямолинейно. Сила тяги тепловоза постоянна и равна F. Сила f сопротивления движению поезда пропорциональна скорости движения. Найти закон движения поезда, если при t = 0, V = 0.

297. Локомотив весом P движется по некоторому участку пути со скоростью 60 км/ч. Через какой промежуток времени и на каком расстоянии от начала торможения он будет остановлен, если сила сопротивления движению при торможении равна 0,2 веса локомотива.

298. Вагоновожатый трамвая, включая реостат, постепенно увеличивает мощность двигателя так, что сила тяги возрастает от нуля пропорционально времени, увеличиваясь на 120 Н в секунду. Найти закон движения трамвая при следующих данных: 1) масса вагона - 10 т; 2) сопротивление трению постоянно и равно 200 Н; 3) начальная скорость равна нулю.

299. Материальная точка массой 2 г погружается в жидкость, сила сопротивления которой пропорциональна скорости погружения с коэффициентом пропорциональности k = 0,002 кг/с. Найти скорость точки через 1с после начала погружения, если в начальный момент она была равна нулю.

300. Скорость химической реакции, при которой разлагается данное вещество, пропорциональна количеству неразложившегося вещества. Через час после начала реакции осталось 36 г неразложившегося вещества, а через 3 часа – 9 г. Сколько было взято вещества первоначально?

301-310. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений. Сделать проверку найденного решения.

301. 302. 303.

304. 305. 306.

307. 308. 309.

310.

Контрольная работа № 6

Ряды. Операционный метод. Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории векторных полей.

311 – 320. Выяснить, какие из данных рядов сходятся и какие расходятся.

311.  312. 313. 314.

315. 316. 317. 318.

319. 320.

321 – 330. Определить область сходимости данных рядов.

321. 322. 323.

324. 325. 326.

327. 328. 329.

330.

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в указанном интервале. Выписать полученный ряд и три первых члена разложения отдельно. Построить график данной функции f(x), продолженной с данного интервала периодически на всю числовую ось.

331. f(x) = x +1 в интервале .

332. f(x) = x +1 в интервале .

333. f(x) = в интервале .

334. f(x) =+1 в интервале .

335. f(x) = в интервале .

336. f(x) = в интервале .

337. f(x) = в интервале .

338. f(x) = x -2 в интервале .

339. f(x) = x +1 в интервале .

340. f(x) = в интервале .

Найти решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям, применяя метод операционного исчисления. Сделать проверку найденного решения.

341. y - 3y =t +1, y( 0 ) = 0, y( 0 ) = 1 .

342. y - 4y + 3y = e, y( 0 ) = 1, y( 0 ) = 0.

343. y - 6y + 9y = 5e , y( 0 ) = -2, y( 0 ) =0.

344. y + 2y + 10y = t- 1 , y( 0 ) = 0, y( 0 ) = 0.

345. y + 4y + 3y = 2sin 3t, y( 0 ) = -3, y( 0 ) = 0.

346. y - 4y + 5y = -2t +1 , y( 0 ) = 1, y( 0 ) = -1.

347. y + 9y = -3sin t, y( 0 ) = 2, y( 0 ) = 0.

348. y - 4y = e , y( 0 ) = 0, y( 0 ) = -2.

349. y - 2y + 2 = t + 3 , y( 0 ) = -1, y( 0 ) = 0.

350. y - 2y + y = cos 2t, y( 0 ) = 0, y( 0 ) =3.

351 – 360. Вычислить криволинейный интеграл. Сделать чертеж дуги кривой L.

351. , где L - отрезок прямой от точки (1; 0) до точки (2;1).

352 . , где L - отрезок прямой от точки (1;1) до точки (2;2).

353. , где L - дуга кривой y = ln (x + 1)от точки (0; 0) до точки (e - 1;1).

354. , где L - дуга кривой y = x от точки (1;1) до точки (2;4).

355. , где L - верхняя половина окружности x = sin 2t, y=cos 2t. Интегрировать против часовой стрелки.

356. , где L - дуга кривой y = x от точки (-1;1) до точки (-2;4).

357. , где L - верхняя четверть окружности x = 2sin t, y = 2cos t. Интегрировать против часовой стрелки.

358. , где L - отрезок прямой от точки (1; 0) до точки (2;1).

359. , где L - дуга кривой y = x от точки (1;1) до точки (2;4).

360. , где L - верхняя половина эллипса x = 3sin 2t, y=4cos2t. Интегрировать против часовой стрелки.

Найти поток векторного поля в направлении нормали через поверхность S треугольника, высекаемого координатными плоскостями из плоскости, проходящей через точку P перпендикулярно вектору . Сделать чертеж.

361. =(x + y), (1; -1; 1), P (1; 2; 4).

362. =(x – y + z), (2; -1; 1), P (0; 0; 2).

363. =(x + z), (1; -3; 1), P (0; 2; 0).

364. =(x + 2y - z), (1; -3; -1), P (-1; 0; 0).

365. =(x - 2y + z), (2; -1; 2), P (0; -2; 0).

366. =(2x + y - 3z), (-1; -3; 1), P (0; 0; -3).

367. =(-x + 4y), (1; -3; 1), P (0; 1; 0).

368. =(3x – y - z), (1; -2; 2), P (2; 0; 0).

369. =(-2x + 3y - z), (-1; -3; 1), P (0; 0; 3).

370. =(x + y – 3z), (1; -2; 1), P (-4; 0; 0).

371 – 380. Проверить, является ли векторное поле потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.

371. =(3x + yz; 3y + xz; 3z + xy).

372. =(9x - 5yz; 9y - 5xz; 9z - 5xy).

373. =(5x - 2yz; 5y - 2xz; 5z - 2xy).

374. =(3x + 7yz; 3y + 7xz; 3z + 7xy).

375. =(8x + 3yz; 8y + 3xz; 8z + 3xy).

376. =(x - yz; y - xz; z - xy).

377. =(10x + 3yz; 10y + 3xz; 10z + 3xy).

378. =(12x - yz; 12y - xz; 12z - xy).

379. =(4x + 5yz; 4y + 5xz; 4z + 5xy).

380. =(6x - 2yz; 6y - 2xz; 6z - 2xy).

Контрольная работа № 7

Теория вероятностей и элементы теории массового обслуживания

381. В барабане револьвера восемь гнезд, из которых в шесть вложены патроны, а два пустые. Барабан приводится в движение, в результате чего против ствола оказывается одно из гнезд. После этого нажимается спусковой крючок. Если гнездо пустое, то выстрела не происходит. Найти вероятность того, что в результате двух опытов: а) выстрела не произойдет; б) произойдет два выстрела; в) произойдет хотя бы один выстрел.

382. В лифт двенадцатиэтажного дома вошли 3 человека. Предположим, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все 3 пассажира сойдут на одном этаже; что только два пассажира сойдут на одном этаже.

383. Вероятность одного попадания при двух выстрелах равна 0,32. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий в партии из 7 выстрелов и модельную вероятность; б) что вероятнее: 3 попадания при 4 выстрелах или 6 из 8-ми?

384. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью 0,8, второй - с вероятностью 0,7 и третий с вероятностью 0,6. Стрелки дали залп по мишени и две пули попали в цель. Найти вероятность того, что третий стрелок попал в мишень.

385. В ящике 12 стандартных деталей и 3 бракованных. Наудачу извлекают 3 детали. Каковы вероятности того, что среди них: а) одна бракованная; б) две бракованных; в) хотя бы одна стандартная?

386. Имеются две партии однородных деталей. Первая партия состоит из 10 деталей, из которых 2 бракованных. Вторая партия состоит из 12 деталей, из которых 3 бракованных. Из первой партии извлекаются наугад 4 детали, а из второй 6 деталей. Эти детали образуют новую партию. Какова вероятность достать из нее бракованную деталь?

387. Из 100 деталей, находящихся в ящике, 30 изготовлены первым заводом, 70 – вторым. Первый завод производит 90% хороших деталей, второй – 80%. Найти вероятность того, что хотя бы одна из двух извлеченных наудачу деталей окажется хорошей.

388. Из первой урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара, наудачу вынули три шара и положили их во вторую урну, содержащую 3 белых и 4 черных шара. Найти вероятность вынуть белый шар из второй урны.

389. В коробке лежат 10 теннисных мячей, из которых 5 новых. Для первой игры взяли 2 мяча, которые после игры не возвратили. Для второй игры взяли 3 мяча, оказавшиеся новыми. Какова вероятность того, что для первой игры брали два новых мяча?

390. Для изделий некоторого производства вероятность удовлетворять стандарту равно 0,95. Предлагается упрощенная система испытаний, дающая положительный результат с вероятностью 0,99 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий не удовлетворяющих стандарту, с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что изделие, выдержавшее испытание, не удовлетворяет стандарту?

Задана непрерывная случайная величина Х своей плотностью распределения f(x). Требуется:

1)  определить коэффициент А;

2)  найти функцию распределения F(x);

3)  схематично построить графики функций f(x) и F(x);

4)  вычислить математическое ожидание и дисперсию X;

5)  определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (а, b).

391. f(x) = a = b = .

392. f(x) = a = 1; b =+.

393. f(x) = a =0,5; b = 2.

394. f(x) = a = b = .

395. f(x) = a = -; b = 1.

Задана непрерывная случайная величина Х своей функцией распределения F(x). Требуется:

1) определить коэффициент А;

2) найти плотность распределения вероятностей f(x);

3) схематично построить графики функций f(x) и F(x);

4) вычислить математическое ожидание и дисперсию X;

5) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (а, b).

396. F(x) = a = - 1; b = 1.

397. F(x) = a = -; b = -1.

398. F(x) = a = -; b = .

399. F(x) = a = ; b = .

400. F(x) = a = - 1; b =+.

Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами а (математическое ожидание) и (среднее квадратическое отклонение). Требуется:

а) написать плотность вероятности и схематически изобразить ее график;

б) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (;);

в) найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от а не более чем на ;

г) применяя правило «3» найти крайние (допустимые) значения случайной величины Х.

401. a = 2, = 1, = 1, = 3, = 2.

402. a = 3, = 1, = 4, = 6, = 1.

403. a = 4, = 2, = 5, = 6, = 4.