Математика (стр. 6 )

1. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

Успешное освоение дисциплины предполагает активное, творческое участие студента путем планомерной, повседневной работы.

Изучение дисциплины следует начинать с проработки рабочей программы, особое внимание, уделяя целям и задачам, структуре и содержанию курса.

2. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Самостоятельная работа студентов заключается в изучении рекомендуемой литературы согласно разделам рабочей программы, решении типовых задач, выполнении контрольного задания.

Задачи и упражнения для аудиторной и самостоятельной работы студента обеспечивают закрепление лекционного материала и подготовку к выполнению контрольных работ.

Степень усвоения студентами теоретических знаний и практических навыков проверяется защитой контрольной и лабораторных работ и сдачей зачета по курсу.

ЗАДАНИЕ №1.

Для решения контрольной работы №1 по математике и следует изучить разделы векторной алгебры, линейной алгебры и аналитической геометрии любых учебников. Для решения задач первой контрольной понадобятся следующие понятия и факты:

Для решения первой задачи:

Определители 2 и 3 порядков

- определитель 2-го порядка

Заметим, что у элемента определителя -номер строки, а -номер столбца

- определитель 3 порядка

Векторы и действия над ними.

В декартовой прямоугольной системе координат вектор (или ) имеющий начало в точке А(3,4,0) и конец в точке В(5,7,5) имеет следующие координаты (5-3; 7-4;5-0) или (2,3,5)

Векторы можно складывать и если =+, где (2,3,5) а (4,5,6) то (2+4;3+5;5+6) = (6,8,11)

Можно умножить вектор на число, например если (2,3,5) умножить на (-2) получим вектор -2(-4,-6,-10)

Длина (модуль) вектора обозначается и считается по формуле = для (2,3,5) ||=

Итак, мы имеем заданную в пространстве декартову прямоугольную систему координат ,, - единичные векторы (орты) положительных направлений осей И когда мы пишем, что (2,3,5) это означает, что =

Тройку векторов называют ортонормированным координатным базисом.

2,3,5 - координаты вектора , а

2, 3, 5- компоненты вектора .

Пусть имеем два вектора (2,3,5) и (6,8,11).

Скалярным произведением вектора на вектор называется число (,) = , где угол между и .

В координатной форме

(,) = - т. е. сумме произведений одноимённых координат

=

Скалярное произведение можно использовать, чтобы найти длину вектора.

Скалярный квадрат =

таким образом ==

С помощью скалярного произведения можно найти угол между двумя векторами = , значит

=

Векторным произведением на называется вектор, обозначаемый или и такой, что:

1) длина |[a, b]| = |a|·|b|·sin –т. е. численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах и

2) перпендикулярен плоскости векторов и

3) вектора , , и составляют правую тройку, т. е. расположены как большой, указательный и средний палец правой руки.

Координатная форма векторного произведения

или (-7,8,-2)

Смешанное произведение трех векторов , и обозначается и равно , то есть векторной произведение на скалярно умножено на (значит, это число- скаляр)

Численно модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Координатная форма смешанного произведения

Поскольку в случае компланарности векторов объем соответствующего параллелепипеда равен нулю, то условием компланарности является равенство нулю их смешанного произведения

Плоскость и прямая в пространстве.

Рассмотрим произвольную плоскость и на ней вектор-нормаль , то есть вектор, перпендикулярный плоскости и фиксированную точку .Возьмем текущую точку ,координаты которой меняются так, что точка остается в плоскости, таким образом вектор также всегда, при любых движениях точки лежит в плоскости.

Итак, вектор лежит в плоскости, а вектор ей перпендикулярен. Тогда их скалярное произведение равно нулю:

, или , где

Это общее уравнение плоскости.

Если , то разделив все члены уравнения на получим уравнение плоскости в отрезках

.

абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями

Рассмотрим три заданные точки в пространстве , и .

Как известно, три точки определяют плоскость. Введём текущую точку , координаты которой меняются, но она не выходит за рамки плоскости. Рассмотри три вектора Все они лежат в плоскости , то есть они компланарны и их смешанное произведение равно нулю.

Это уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Рассмотрим в пространстве прямую. Её можно задать, задав фиксированную точку, через которую она проходит и задав её направление при помощи вектора.

Итак, напишем уравнение прямой, проходящей через заданную точку и параллельной направляющему вектору . Опять возьмем текущую точку на прямой, т. е. точку, координаты которой меняются так, чтобы она не вышла за пределы этой прямой . Вектор лежит на прямой и, значит, коллинеарен вектору .

Если вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

- это и есть канонические уравнения прямой в пространстве.

Обозначим отношение

за

Это параметрические уравнения прямой.

Пример 1. Задана пирамида с вершинами ,,, .

Зная координаты начала и конца вектора , мы можем найти его координаты:

или

Аналогично найдем

1. Теперь найдем угол между ребром и гранью .

Вообще говоря, найти угол между прямой и плоскостью, а угол как раз и является углом между прямой и плоскостью ,- это угол между прямой и её проекцией на плоскость - задача непростая. Угол найти проще, а ведь в сумме они составляют .

Значит, найдя , найдем и =-.

Итак, ищем : это угол между вектором-нормалью к плоскости и вектором .

Отыщем сначала . Какой вектор мы можем выбрать в качестве перпендикуляра к плоскости ? Векторное произведение любых двух векторов, лежащих в плоскости, перпендикулярно плоскости. Возьмем векторное произведение .

==

=

Нас интересует угол между =и .

Скалярное произведение

следовательно

Если , то

- угол между ребром пирамиды и гранью.

2. Найдем площадь грани .

Площадь грани - это площадь треугольника и половина площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Но мы знаем из определения векторного произведения, что длина вектора = численно равна площади этого параллелограмма. Длину вектора мы считали в пункте 1 и она равна .

Итак площадь грани =

3. Найдем объем пирамиды;

Объем пирамиды равен =

Если отбросить коэффициент , то получим =-объем призмы, в основании которой лежит , т. е. объем пирамиды равен объема призмы.

А объем параллелепипеда, основанием которого является параллелограмм в 2 раза больше объема призмы следовательно, объём пирамиды - это объема параллелепипеда.

Но объем данного параллелепипеда численно равен модулю смешанного произведения векторов, на которых построен параллелепипед

4. Найдем уравнения прямой - это уравнения прямой, проходящей через заданную точку в направлении, заданном вектором . Итак, пишем уравнение прямой, проходящей через точку А1 (1,2,3) в направлении вектора

5. Уравнение плоскости :

У нас имеется три точки, лежащие в интересующей нас плоскости, значит используем уравнение плоскости, проходящей через 3 точки:

или

Раскладываем определитель по первой строке

6. Находим уравнения высоты, опущенной из вершины на грань .

Раз эта прямая-высота – она перпендикулярна плоскости , значит в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор , перпендикулярный .

Высота опущена из вершины - значит искомая прямая проходит через точку .

Итак, пишем уравнения прямой, проходящей через заданную точку(3,4,8) в направлении заданного вектора (-6,2,6).

или

Наконец, найдем координаты точки пересечения высоты с нижней гранью.

То есть точку пересечения прямой и плоскости

Перейдем к параметрическому виду уравнений прямой:

и подставим и в уравнение плоскости:

Итак, высота пирамиды пересекается с нижней гранью в точке .

ЗАДАНИЕ №2

Для решения второй задачи потребуются следующие понятия и формулы:

Аналогично тому, как мы действовали в трехмерном случае( в пространстве) при решении первой задачи, рассмотрим на плоскости прямую. Чтобы задать прямую, нужно задать точку, через которую она проходит и вектор, задающий направление: и.

M0 (x0, y0)

M(x, y)

Возьмем текущую точку прямой и рассмотрим вектор .

Вектор коллинеарен вектору и их координаты пропорциональны

- это условие и задает уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении.

Перенесем все в левую часть и, обозначив числовые коэффициенты другими буквами, получим общее уравнение прямой

Взяв в качестве вектора вектор, соединяющий две точки прямой и ,получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

.

Выразив и обозначив коэффициент при буквой , а остальные слагаемые буквой , получим уравнение с угловым коэффициентом

Условие параллельности двух прямых

Условие перпендикулярности двух прямых

Если есть отрезок , где и и точка делит его в заданном отношении , то есть

, то

координаты точки

; (формулы деления отрезка в заданном отношении)

Расстояние между точками и вычисляется по формуле, полностью аналогичной формуле расстояния в пространстве, только относительно двух переменных

Пример 1. Задан отрезок , где (-2,5), (4,17).

Определить координаты точки , расстояние от которой до точки в два раза больше, чем расстояние до точки.

По условию задачи

Координаты точки нам неизвестны, но она делит отрезок в отношении .