Математика (стр. 7 )

Итак, =2

Искомая точка имеет координаты

Пример 2. Прямые и являются сторонами треугольника, а точка -точкой пересечения третьей стороны с высотой, опущенной на неё. Составить уравнение третьей стороны.

а) Точка А является точкой пересечения прямых АВ и АС, т. е. лежит и на той и на другой прямой. Значит её координаты должны удовлетворять и уравнению прямой АВ и уравнению прямой АС.

сложим уравнения

Итак, точка А (2,-3).

Высота АР – это прямая, проходящая через две заданные точки А и Р:

;

(АР)

то есть угловой коэффициент высоты АР равен -5

в) Прямая ВС перпендикулярна АР, значит её угловой коэффициент

.

Значит её уравнение с угловым коэффициентом имеет вид

(ВС) , где неизвестно.

Но мы знаем, что прямая ВС проходит через точку Р, - значит координаты точки Р обращают уравнение ВС в тождество.

Подставим координаты точки Р в уравнение ВС:

Итак, уравнение ВС:

или

ЗАДАНИЕ №3

Для решения третьей задачи потребуются следующие понятия о кривых второго порядка: Пусть на плоскости имеется прямоугольная декартова система координат. Как было видно в предыдущей задаче, множество точек плоскости, удовлетворяющих равенству =0 является линией.

В примере №2 уравнения были линейными( т. е.функция являлась многочленом первой степени), линия - прямой линией; то есть линиями первого порядка являлись прямые линии. В качестве функции может выступать и многочлен второй степени

такое уравнение – уравнение линии второго порядка.

ЭЛЛИПС

Если уравнение имеет вид

то кривая называется эллипсом (каноническое уравнение эллипса). Точка -центр эллипса. Точки (±,0),(0, ±) называются вершинами эллипса.

(<) – расстояние от центра до фокусов

Если ==0, то центр эллипса совпадает с началом координат и точки (-,0) и (,0) –левый и правый фокусы эллипса.

Число называется эксцентриситетом эллипса.

ГИПЕРБОЛА

Если уравнение имеет вид >0, >0

кривая называется гиперболой ( каноническое уравнение гиперболы)

Точка - центр гиперболы, Точки (±,0)-вершины гиперболы, При =0, =0,

Прямые = ± асимптоты гиперболы.

, >0. Точки (-,0) и (,0) фокусы гиперболы.

ПАРАБОЛА

Если уравнение имеет вид: , где >0, то линия называется параболой ( каноническое уравнение параболы)

,-координаты вершины параболы; При ==0 (,0 ) - фокус параболы ; прямая - директриса параболы.

На плоскости может быть введена не только декартова прямоугольная, но и полярная система координат.

Зададим точку О - полюс, ось Z содержащую точку О и единицу длины оси Z. Возьмем произвольную точку М плоскости. Её положение на плоскости определяется двумя числами – расстоянием r от О до М (полярный радиус) и отсчитываемым против часовой стрелки углом φ между лучом OM и лучом оси (полярный угол). Если поместить начало координат декартовой прямоугольной системы в полюс, то координаты будут связаны следующим образом.

Пример 1. Пусть в задаче №3

Построим заданную линию по точкам в полярной системе координат. В начале определим область допустимых значений (ОДЗ) независимой переменной φ. По определению полярной системы координат и .Точке r = 0 соответствует полюс 0.

По условию задач угол φ может меняться от 0 до 2π. Поэтому наибольшие размеры ОДЗ таковы . При этом r>0 (r 0), т. к. числитель соответствующей дроби 4>0. отсюда знаменатель этой дроби также должен удовлетворять неравенству 2-3cos φ > 0 или cos φ < 2/3. Решаем последнее неравенство cos φ = 2/3 0,667;

0,667 +2πk, kN; φ =.

В промежуток попадают два значения φ1= и φ2 = -. Отсюда для cos φ<2/3.

Следовательно, допустимые значения φ принадлежат промежутку от 3π/8 до 13π/8, т. е. ОДЗ: . Результаты расчетов заносим в таблицу

φ	3π/8	π/2	5π/8	6π/8	7π/8	π	9π/8	10π/8	11π/8	12π/8	13π/8
cosφ	0.38	0	-0.38	-0.71	-0.92	-1	-0.92	-0.71	-0.38	0	0.38
r	4.75	2	1.27	0.97	0.84	0.8	0.84	0.97	1.27	2	4.75

Строим чертеж, откладывая на луче, проведенном из полюса О под определенным углом φ, соответствующие значения радиус-вектора r из таблицы

rl(φ)

Для перехода к системе 0ху воспользуемся формулами. Имеем, следовательно - r (2-3cos φ)=4,

Определяем ОДЗ для х. Из ОДЗ : для φ >0.

Следовательно, 3х+4>0. Отсюда ОДЗ: х>-4/3. Возводим правую и левую части равенства в квадрат и выделяем полный квадрат для переменной х:

4х2+4у2=9х2+24х+16; (5х2+24х)-4у2+16=0;

5(х2+2;

(х+12/5)2-4/5у2-144/25+16/5=0; (х+12/5)2-4у2/5=64/25

Окончательно получаем уравнение гиперболы х > -

с центром в точке С(-12/5;0), а = 8/5, b = 4/.

Находим координаты фокусов, уравнения асимптот и эксцентриситет. Для этого систему координат 0ху параллельно перенесем в точку . Заменяя переменные =х+12/5, =у, получим в новой системе координат уравнение гиперболы с центром в

Получим координаты фокусов, уравнения асимптот и эксцентриситет гиперболы:

или ,

Переходим в старую систему координат. Имеем: .

Следовательно: F1(x;y)=F1( =F1(-24/5;0);

F2(0;0), у = +

Совмещаем начало О системы координат Оху с полюсом, отмечаем координаты фокусов F1 и F2, проводим асимптоты и строим пунктиром левую ветвь гиперболы, т. к. точки гиперболы в полуплоскости слева от прямой х=-4/3 не удовлетворяют ОДЗ х>-4/3.

В случае если уравнение не подходит под один из перечисленных выше частных случаев линии второго порядка требование задачи «назвать линию» следует опустить.

ЗАДАНИЕ №4

Для решения задачи № 4 следует иметь понятие о базисе.

Система из n линейно независимых векторов в n-мерном пространстве называется базисом. Векторы называются линейно независимыми, если равенство

(линейная комбинация этих векторов равна 0) выполняется только при нулевых значениях коэффициентов – всех при i=1,2…n.

Если это равенство имеет место при условии, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то система векторов называется линейно зависимой.

В n-мерном пространстве линейно независимая система векторов не может содержать более n векторов.

Пусть задана система из n линейных уравнений с n неизвестными

Матрица системы – набор из чисел-коэффициентов системы, так как число строк матрицы равно числу столбцов матрица называется квадратной.

Её определитель (для случая, когда n=3):

-определитель разложен по первой строке. Как определяются определители высших порядков, можно узнать в указанных ниже учебниках или в следующем разделе.

Итак, если определитель системы , то система имеет единственное решение , которое можно найти по формулам Крамера

Где определитель матрицы системы, а определитель матрицы, полученной из матрицы системы А заменой i-го столбца на столбец свободных членов .

Пример 1. Решим задачу разложения вектора по базису:

Пусть даны вектора

Решение.: Покажем в начале, что векторы и образуют базис. Система векторов образует базис, если эти векторы линейно независимы, а соответствующее векторное уравнение

Обращается в тождество только при λ1=λ2=λ3=0.

Используя координаты векторов , составим систему линейных уравнений, эквивалентную векторному уравнению

Вычисляем определитель Δ данной системы

=1(-1)-1(-2)=1.

Так как Δ 0, то система имеет только нулевое решение (λ1,λ2,λ3) =(0,0,0). Это следует из того факта, что при bi =0 все определители при неизвестных в формулах Крамера равны нулю Δ1 = Δ2 =Δ3 = 0.

Следовательно, векторы образуют базис.

Найдем координаты вектора в базисе . Четыре вектора в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы, т. е. вектор есть линейная комбинация векторов

.

Аналогично предыдущему случаю составим систему уравнений для определения координат λ1,λ2,λ3 вектора в базисе

Определитель системы совпадает с определителем системы и не равен нулю Δ=1 0. Следовательно, система имеет единственное решение. По формулам находим λ1,λ2 и λ3

λ1=Δ1/Δ=-2/1=-2, λ2=Δ2/Δ=3/1=3, λ3=Δ3/Δ=-4/1=-4,

Итак, разложение вектора по базису имеет вид:

Если векторы заданы в базисе , то в этом базисе вектор имеет координаты (2;1;3).

Студенту рекомендуется самостоятельно нарисовать векторы в пространстве R3 и сравнить полученные значения λi cо значениями, полученными графически.

ЗАДАНИЕ №5

Задача №5 – это задача нахождения обратной матрицы.

Какие операции можно выполнить над матрицами?

Сложение матриц:

Умножение матрицы на число:

Умножение матриц:

Транспонирование матриц:

То есть элемент матрицы находящийся в позиции совпадает с элементом матрицы А, находящимся в позиции . Таким образом строки матрицы А переходят в столбцы , а столбцы– в строки.

Нахождение определителя (для квадратных матриц):

Для нахождения определителя третьего порядка мы пользовались в предыдущих задачах формулой:

,

Т. е. умножили элементы первой строки на определители, которые останутся от исходного определителя третьего порядка, если вычеркнуть этот элемент вместе со своей строкой и столбцом.

Определителем матрицы n-го порядка

называется число D

Где – элементы первой строки, знак совпадает со знаком

– минор – то есть определитель, матрицы порядка n-1, полученной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Таким образом

– формула разложения определителя по i-ой строке.

Число назовем алгебраическим дополнением элемента . И тогда формулу определителя можно написать в виде:

Нахождение обратной матрицы (если ):

, где – алгебраическое дополнение элемента

Для обратной матрицы

, где Е – единичная матрица

.

Можно построить обратную матрицу методом Жордана. Для этого следует составить расширенную матрицу (А/Е). Если подвергнуть строки этой матрицы элементарным преобразованиям (сложение и умножение на число) с целью получить на месте матрицы А единичную матрицу Е, то на месте матрицы Е получится – обратная к А.

Пример 1. Вычислим матрицу обратную матрице .

Решение. Вычисляем определитель матрицы А

Следовательно, матрица А-1 существует.

Алгебраические дополнения элементов аji исходной матрицы вычисляем по столбцам матрицы А

Записываем их в строки матрицы А-1