Математика (стр. 8 )

Делаем проверку:

, ,

,

В самом деле:

Проверим наши вычисления по методу Жордана.

Составим расширенную матрицу

B =

Первый столбец

Наша цель – чтобы первый столбец выглядел так , т. е. надо уничтожить тройку во второй строке. Для этого первую строку умножаем на 3 и вычитаем из второй

Второй столбец

Теперь надо, сделать второй столбец таким же, как второй столбец матрицы Е, т. е надо чтобы второй столбец был таким .

Для этого вторую строку умножим на

.

Теперь надо уничтожить 2 в первой строке и 1 в третьей строке.

Умножаем вторую строку на 2 и вычитаем из первой. Результат записываем на место первой строки. Вторую строку оставляем на своем месте. Из третьей строки вычитаем вторую строку, результат записываем на место третьей строки.

.

Третий столбец

Третий столбец у единичной матрицы должен быть таким , то есть все три строки придется менять. Разделим третью строку на

.

Теперь уничтожим в первой строке. Для этого третью строку умножим на и вычтем из первой. Результат запишем на место первой строки.

Теперь в третьем столбце от столбца единичной матрицы отличается только элемент второй строки. Это . Чтобы на этом месте был ноль, добавим ко второй строке третью, умноженную на . Результат впишем на место второй строки.

.

Теперь сократим все дроби, где это возможно

.

Действительно, мы получили матрицу .

ЗАДАНИЕ №6

Задача №6 – задача решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть задана система четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными х1,х2,х3,х4

Требуется найти решение (х1,х2,х3,х4) этой системы.

Перед решением системы исследуем её на совместность. По теореме Кронекера – Капелли для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг основной А и расширенной А1 матриц совпадали

r(A)=r(A1).

Система будет определенной, если ранг совместной системы равен числу неизвестных n

r(A)=n=4

Если , то первое уравнение системы заменяем на уравнение в котором аi1=1

По методу Гаусса с помощью эквивалентных преобразований над строками расширенную матрицу А1 системы надо привести к матрице

В которой основная матрица А принимает треугольный вид , т. е. на главной диагонали матрицы А все элементы равны единице, ниже – нулю. На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.

В процессе обратного хода из матрицы находим значения неизвестных хi, начиная с последней x4=b45 и до первой x1=b15

Одновременно с прямым ходом по методу Гаусса можно определить ранги r(A) и r(A1)

Пример 1. Пусть задана система

Решение: Так как а11=0, I и IV(см. выше) уравнения системы меняем местами и записываем расширенную матрицу полученной системы

Выполняем последовательно следующие преобразования. В матрице каждый элемент I строки умножаем на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам II строки; затем элементы I строки умножаем на (-1) и складываем с соответствующими элементами III строки. В результате получаем:

В полученной матрице элементы III строки делим на 3 и затем элементы II строки умножаем на (-1) и складываем с элементами соответственно III и IV строк:

Элементы III и IV строк нашей матрицы меняем местами; элементы III строки делим на (-1), затем умножаем на (3) и складываем с элементами IV строки

В этой матрице элементы IV строки делим на (-4)

Полученной матрице соответствует система:

Из последнего уравнения системы х4=2; из III уравнения х3=2+х4=2+2=4; из II уравнения х2=18-2х4-2х3= из I уравнения x1=-6+2x2+x4=-6+2·6+2=8

Итак, решение системы равно (х1,х2,х3,х4)=(8;6;4;2).

Для избежания ошибок в решении студенту рекомендуется сделать проверку, подставив найденное решение (х1,х2,х3,х4) в каждое уравнение системы.

Найдем ранги и

Таким образом, определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Поскольку отличный от нуля определитель квадратной матрицы имеет размерность 4 х 4, то ранг матрицы равен r(А)=4.

В матрице вычеркиваем IV столбец и определяем ранг матрицы в приведенном к треугольному виде:

Отсюда r()= 4.

Следовательно система совместна и определена.

ЗАДАНИЕ №7

Задача №7: Привести квадратичную форму к каноническому виду; найти ортонормированный базис, в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид; найти матрицу перехода к ортонормированному базису.

Квадратичной формой действительных переменных называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени. Если - квадратичная форма переменных , а λ – какое-то действительное число, то .

Если n=2, то .

Матрица у которой , называется матрицей квадратичной формы . Т. к. А – симметричная матрица, то корни λ1 и λ2 характеристического уравнения являются действительными числами.

Пусть и

нормированные собственные векторы, соответствующие характеристическим числам λ1 и λ2 в ортонормированном базисе . В свою очередь векторы образуют ортонормированный базис. Матрица

Является матрицей перехода от базиса к базису . Формулы преобразования координат при переходе к новому ортонормированному базису имеют вид:

Преобразовав с помощью этих формул квадратичную форму , (не содержащую членов с произведениями).

говорят, что форма приведена к каноническому виду.

Пример 1. Приведем к каноническому виду квадратичную форму .

; ; .

Составим характеристическое уравнение

=0 или .

; .

Определим собственные векторы

I)

;

Полагая что , получим , то есть собственный вектор .

II).

Полагая что , получим , то есть собственный вектор .

Чтобы нормировать векторы u и v, следует принять .

Итак, мы нашли нормированные собственные векторы

где - ортонормированный базис, в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид.

Матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису имеет вид:

B=

Канонический вид квадратичной формы

ЗАДАНИЕ №8

Если в линейном пространстве R каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор , то говорят, что в пространстве R задан оператор A. Оператор A называется линейным, если для любых векторов и и любого действительного числа λ выполняются равенства:

Значит, для того, чтобы проверить, является ли оператор A линейным надо проверить, выполняются ли эти равенства. Проверим, является ли оператор A линейным в R3 -

Возьмем два вектора и

То есть оператор A является линейным, найдем его матрицу.

Первая координата произведения получается умножением первой строки на столбец , то есть , значит , ,

Вторая координата произведения:

Третья координата произведения:

Итак, матрица оператора

Найдем собственные значения линейного оператора:

(1-λ)·(1-λ)2-1·1=0

(1-λ)3=1

1-λ=1

λ=0

Оператор A имеет собственное значение λ=0 кратности 3.

Для определения координат собственного вектора получаем систему уравнений:

положив

получим:

Собственному числу соответствует собственный вектор

ЗАДАНИЕ №9

Пример 1. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Решение: Алгебраической формой комплексного числа называется следующий его вид z=x+iy. Действия над комплексными числами в алгебраической форме производятся как над многочленами вида a+xb. Специфическим приёмом деления комплексного числа на комплексное число является домножение и числителя и знаменателя на комплексно сопряжённое знаменателю число. В результате частное не изменится, но делитель будет вещественным.

Заметим что

Пример 2. Найти тригонометрическую форму числа . Найти:

Решение :Выражение вида называется тригонометрической формой числа z, где модулем z называют , аргументом z – угол между радиус-вектором точки z и положительным направлением оси Ох.

Очевидно, что если |z|r, arg z , то действительная часть числа z Re z x r cos, а мнимая часть числа z Jm z y  r sin 

Таким образом, в терминах модуля и аргумента комплексное число можно представить в виде

Для определения тригонометрической формы комплексного числа z найдём r,

Та как sin и cos угла отрицательны, делаем вывод, что угол находится в III четверти

Вычислим по формуле Муавра

120=1

Пример 3. Решить уравнение

Известно, что корнем n-степени из числа z называется любое число , такое, что и ω имеет n различных значений.

Решение: если число z представить в тригонометрической форме

то значения можно представить формулой

Поскольку все одинаковы, а аргументы отличаются на 2П/n, то значения на комплексной плоскости располагаются в вершинах правильного n угольника. Величина называется главным значением корня

 

Итак, корнями уравнения будут три единичных вектора, расположенных под углом в 120 градусов друг к другу.

ЗАДАНИЕ №10

Для решения контрольной работы №2 по математике или контрольной работы №1 по математическому анализу (для специальности ЭВМ) надо изучить разделы, посвященные пределам функции одной переменной и ее производной.

Пределом функции при называется число «а» такое, что для любого можно найти такое число , что для любого «x» из промежутка будет выполняться неравенство . Имеют место следующие свойства пределов: при , имеющие место и при :

если существуют и не бесконечны , то

и следующие замечательные пределы

Решим задачи, подобные задачам из контрольной работы:

Пример 1. Найти предел L=

Решение: Имеем неопределённость вида .

Если к такой неопределённости сводится предел отношения двух многочленов, при следует в числителе и в знаменателе дроби вынести за скобки самую высокую входящую в них степень аргумента, а затем сократить дробь. Вынесем за скобки в числителе и знаменателе старшую степень аргумента

Так как и при , то предел числителя при

равен 3. Предел знаменателя равен 0. Следовательно, предел

дроби равен .

Ответ: L=

Пример 2. Найти .

Решение : Здесь неопределённость вида .Если к такой неопределённости сводится предел отношения двух многочленов при , нужно и в числителе и в знаменателе выделить критический множитель (x-x0) и сократить на него числитель и знаменатель дроби. Выделяем критический множитель (x-3)

Опять возникла та же неопределённость. Действуя аналогично, получаем:

Ответ: .

Пример 3. Найти

Решение : Неопределённость. В этом случае нужно либо в числителе, либо в знаменателе дроби избавиться от иррациональных выражений, которые в точке обращаются в нуль. Чтобы раскрыть эту неопределённость, умножим и разделим дробь на выражение, сопряжённое числителю.

.

Теперь неопределённость создаёт критический множитель. Выделим его в числителе и знаменателе дроби, а затем сократим на него числитель и знаменатель.

Ответ: L=.

Пример 4. Найти пределы а) б) .

Решение: Неопределённость вида .

а) При . Умножая и числитель и знаменатель дроби на 8, приведём заданный предел к первому замечательному пределу.

Иногда для раскрытия неопределённости приходится предварительно применять тригонометрические формулы. В случае б) в числителе воспользуемся формулой и получим

Полагая и учитывая, что при , окончательно получим

Ответ: а) , б) .

Пример 5. Найти предел .

Решение : Неопределённость вида .Для раскрытия этой неопределенности используется второй замечательный предел. Выделяем в круглых скобках целую часть

Обозначим . Если , то и . Далее показатель степени умножаем и делим на .

Делаем замену переменной и . Находим предел показателя степени

.

Ответ:

ЗАДАНИЕ №11

Следующая задача контрольной работы такого типа:

Задана функция . Установить, является ли данная функция непрерывной.

В случае разрыва функции в некоторой точке найти её пределы слева и справа, классифицировать характер разрыва. Построить схематично график функции.

Любая элементарная функция непрерывна во всех точках своей области определения.

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке

Скачок функции в точке

Пример 1. Пусть функция имеет вид

Решение: Функция определена для всех . Если , то , поэтому для всех функция непрерывна. Если , непрерывна для всех .Если, для всех также непрерывна. Поэтому точки разрыва могут быть только для тех значений , в которых заданная функция меняет свой аналитический вид, а именно в точках и . Исследуем непрерывность функции в точке . Для этого найдём: предел слева