Математика (стр. 13 )

§5. Знакопеременные ряды. Признаки сходимости знакопеременных рядов. Абсолютная сходимость

Ряд с членами произвольного знака

(3)

называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд

(4)

Ряд (3) в этом случае также сходится.

Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от того, в каком порядке суммируются члены ряда. Для того, чтобы определить абсолютную сходимость ряда (3), достаточно применить к ряду (4) признаки сходимости для рядов с положительными членами. Если ряд (3) сходится, а ряд (4) расходится, то ряд (3) называется не абсолютно (условно), сходящимся. Сумму такого ряда путём перестановки слагаемых можно сделать равной любому числу.

Пример 10. Сходится ли ряд (плюс, два минуса, три плюса, четыре минуса и т. д.)?

Ряд из абсолютных величин членов имеет вид и, следовательно, сходится (), следовательно, сходится и исходный ряд.

6. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов

Знакочередующийся ряд сходится (вообще говоря, не абсолютно), если абсолютные величины его членов монотонно убывают , а общий член стремится к нулю . В этом случае остаток ряда по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов:

Пример 11. Ряд сходится, так как все условия признака Лейбница выполнены. Ряд отличается от гармонического ряда лишь знаками чётных членов.

7. Функциональные ряды. Понятие области сходимости ряда.

Ряд называется функциональным, если члены его являются функциями от .

Совокупность В тех значений , для которых сходится функциональный ряд

, (5)

называется областью сходимости этого ряда,

а функция

(6)

называется суммой ряда.

Для определения области сходимости функциональных рядов обычно используется признак Даламбера, а затем те значения , для которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда . исследуется особо, посредством других признаков сходимости рядов.

Пример 12. Рассмотрим ряд ;

Для исследования вопроса о сходимости ряда используем признак Даламбера:

При получим знакочередующийся числовой ряд с общим членом , который сходится по признаку Лейбница. При получим гармонический расходящийся ряд. Область сходимости данного ряда состоит из двух бесконечных интервалов .

8. Равномерная сходимость функционального ряда

Последовательность функций называется равномерно сходящейся на множестве В, если:

1)  Существует предельная функция .

2)  Для любого числа можно указать число такое, что при .

В этом случае пишут: .

Функциональный ряд (5) называется сходящимся равномерно на множестве В, если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм: , где .

Пример 13. Ряд сходится для всех точек сегмента . Оценим остаток этого ряда . В скобках стоит знакочередующийся ряд с монотонно убывающими членами, причём общий член стремится к нулю при . На основании признака Лейбница, имеем , т. к. . Легко видеть, что каково бы ни было существует число К такое, что при имеет место неравенство (4) для всех точек из сегмента . В качестве числа можно взять любое целое число, большее, чем . Здесь выбранное число , начиная с которого осуществляется неравенство (4), не зависит от точки на сегменте ( а зависит только от ). В этом случае говорят, что ряд сходится равномерно на .

9. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса

Функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве В, если существует сходящийся числовой ряд с положительными членами (5) такой, что при .

Пример 14. Ряд сходится равномерно на .

Действительно, для значений , принадлежащих этому отрезку, имеем . Ряд с общим членом сходится. По признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно.

10. Свойства равномерно сходящихся рядов

1. Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть функция непрерывная .

2. Если члены сходящегося ряда (1) непрерывно дифференцируемы при и ряд, составленный из их производных , сходится равномерно на отрезке , то при .

3. Если члены ряда (1) непрерывны для и этот ряд сходится равномерно на , то ..

Пример 15. Рассмотрим ряд

из неравенства следует, что этот ряд сходится и притом равномерно на всей оси. Рассмотрим ряд, получающийся из заданного при почленном дифференцировании:

(7)

Из неравенства следует, что ряд (7) сходится равномерно на всей оси. Для суммы исходного ряда при любом справедливо .

11. Степенные ряды. Радиус сходимости ряда и его вычисление

Для каждого степенного ряда

(8)

существует интервал сходимости:

,

внутри которого данный ряд сходится, а вне интервала расходится.

Радиус сходимости можно вычислить по формуле:

, (9)

если этот предел существует.

Также радиус сходимости степенного ряда вычисляется по формуле Коши:

. (10)

Пример 16. Пусть задан стенной ряд:

(11)

Рассмотрим ряд из абсолютных величин членов этого ряда и применим к нему признак Даламбера:

.

Следовательно, ряд (11) сходится абсолютно при или и расходится при или . Ясно, что . Выясним сходимость ряда при и . Подставляя эти значения в ряд (11), получим:

.

Первый из них расходится, второй сходится.

Таким образом, ряд (11) сходится на интервале .

Основные свойства степенных рядов

1.  Ряд (1) сходится равномерно на каждом интервале строго внутреннем к его интервалу сходимости.

2.  Сумма ряда (1) непрерывна в каждой внутренней точке его промежутка сходимости.

3.  Ряд (1) можно интегрировать почленно по любому отрезку строго внутреннему к его интервалу сходимости.

4.  Ряд (1) можно дифференцировать почленно в любой точке его промежутка сходимости.

12. Ряды Фурье. Теорема разложения.

Если функция кусочно-непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную в , причём в точках разрыва ,то функция в может быть представлена рядом Фурье:

Если чётная, то

Если нечётная, то

Пример 17. Разложим в ряд Фурье функцию

, (12)

заданную на .

Так как эта функция внутри непрерывна и монотонна, она может быть разложена в ряд Фурье. Вычислим:

Тригонометрическим рядом Фурье функции (12) на является ряд

Сумма ряда во всех точках непрерывности должна с ней совпадать для . Для ,т. е. . Функция должна быть периодической и иметь период . Поэтому аналитически эту функцию можно задать как

Если продолжим функцию с сегмента на всю вещественную ось согласно её аналитическому виду (12), необходимо положить Тогда продолжение с сегмента будет совпадать с функцией

Пример 18. Разложим в ряд функцию

Здесь . Коэффициенты определяется по формуле:

Коэффициенты - по формуле:

в которых надо вместо подставить 2.

Поэтому:

Итак

Но по этой формуле вычислить нельзя, а поэтому следует вычислить непосредственно. Окажется, что =1. Коэффициенты вычисляются с помощью интегрирования по частям:

.

Учтено, что . Подставляя найденные значения коэффициентов , и в ряд Фурье и учитывая, что , получим:

или в развёрнутом виде:

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Кусочно-гладкая ориентированная кривая

Кривая , где , называется непрерывной кусочно– гладкой, если функции j, y и g непрерывны на отрезке [a,b] и отрезок [a,b] можно разбить на конечное число частичных отрезков так, что на каждом из них функции j, y и g имеют непрерывные производные , одновременно не обращающиеся в нуль.

Кривая называется замкнутой, если значения уравнения кривой в начальной и конечной точках отрезка совпадают.

Под ориентацией кривой понимается направление ее обхода. Для замкнутой кривой обход осуществляется либо «по часовой стрелке», либо «против часовой стрелки». Ориентация незамкнутой кривой задается указанием начальной и конечной точек.

Кривая называется плоской, если все ее точки лежат в одной плоскости.

2. Криволинейные интегралы первого рода

Все рассматриваемые ниже кривые будем считать плоскими, непрерывными и кусочно-гладкими.

Пусть L = АВ - незамкнутая кривая в плоскости хОу с конечными точками А и В, и пусть z=f (x,y) - функция, определенная на кривой L. Разобьем кривую L последовательными точками А0=А, А1, А2, . . . , Аn=В на дуги d1= А0А1, d2= А1А2, . . . , dn= Аn-1Аn.

На каждой дуге di выберем произвольную точку Мi (ti , si) (i = 1,2, . . . , n) (рис. 1). Обозначим Dli длину дуги di , а .

Составим интегральную сумму функции f (x,y) вдоль кривой L

Рис.1

Определение 1. Предел , если он существует, называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции f (x,y) по кривой L и обозначается

(1)

В случае замкнутой кривой L выбирается произвольная точка на кривой, которая принимается за концевые точки А, В, и криволинейный интеграл 1-го рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

1. Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления дуги кривой АВ.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла.

3. Криволинейный интерал от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от этих функций.

4. Если кривая АВ разбита на дуги АС и СВ, то

5. Если во всех точках кривой АВ выполняется условие

,

то

6.

Вычисление криволинейных интегралов первого рода зависит от способа задания кривой интегрирования.

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

x = j (t), y=y (t), a ≤ t ≤b,

где j (t), y (t) - непрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b ] функции. Тогда

. (3)

Если кривая L задана явно уравнением

y=g (x), a≤ x ≤b,

где g (x) - непрерывно дифференцируемая на [a, b] функция, то

(4)

Пример 1. Вычислить интеграл , где L- часть окружности x2 + y2 = 4, расположенная в первой четверти координатной плоскости

Рис. 2

Решение. Параметрическое уравнение данной кривой L имеет вид x = 2cost , y=2sint, 0 ≤ t ≤p/2. Положив

применим формулу (3). Сначала вычислим

=

Далее .

Теперь по формуле (3) получим

3. Криволинейные интегралы второго рода

Рассмотрим ориентированную незамкнутую кривую L = АВ в плоскости хОу с началом в точке А и концом в точке В. Пусть P (x,y) - функция, определенная на кривой L. Разобьем кривую L последовательно точками А0=А, А1, А2, . . . , Аn=В на дуги d1= А0А1, d2= А1А2, . . . , dn= Аn-1Аn. На каждой дуге di выберем произвольную точку Мi(ti , si) (i = 1, 2, . . . , n) (рис. 4).

Обозначим за Dxi = xi - xi-1 , Dyi = yi - yi-1, а за d - наибольшую из длин дуг di (i = 1,2, . . . , n).

Составим интегральную сумму функции P(x,y) вдоль кривой L относительно х

Определение. Предел , если он существует, называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции P (x,y) вдоль кривой L относительно х и обозначается

Рис. 4

(5)

Если кривая L замкнута, то на ней выбирается произвольная точка, которая принимается за конечные точки А и В, и криволинейный интеграл 2-го рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

Теорема (достаточное условие существования криволинейного интеграла второго рода). Если функция P(x,y) непрерывна и ограничена на L, то криволинейный интеграл 2-го рода вида (5) существует.

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

1. Криволинейный интеграл при изменении направления кривой меняет знак.

2.

3.

4.

Криволинейный интеграл 2-го рода от функции Q(x,y) вдоль кривой L относительно у определяется аналогичным образом как предел интегральных сумм

, (6)

где .

Пусть на кусочно-гладкой ориентированной кривой L определены две функции P(x, y) и Q(x, y). Тогда сумма интегралов (5) и (6) называется общим криволинейным интегралом 2-го рода от функций P (x,y) и Q (x,y) вдоль кривой L и обозначается

(7)

Физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода.

Пусть - сила, действующая на материальной точку М(x,y), расположенную на ориентированной кривой L. Тогда работа, совершаемая силой при перемещении точки М вдоль ориентированной кривой L, равна

(8)

Замечание. Криволинейный интеграл 2-го рода аналогично определяется и для пространственной ориентированной кривой.

Площадь плоской фигуры. Пусть простая замкнутая кривая L ориентирована против часовой стрелки, D - область, ограниченная кривой L. Тогда площадь области D равна

(9)

Вычисление криволинейных интегралов второго рода также зависит от способа задания кривой.

Пусть ориентированная кривая L задана параметрическими уравнениями

x = j (t), y=y (t), a ≤ t ≤b,

где j (t), y (t) - непрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b ] функции. Тогда

. (10)

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L: если ориентации кривой L соответствует изменение параметра t от a до b, то в формуле (10) выбирается первый вариант пределов интегрирования. В противном случае в (10) нужно выбирать вариант пределов интегрирования в скобках.

Пусть кривая L задана явно уравнением y=f(x), a≤ x ≤b, где f (x) - непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. Тогда

. (11)

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L, аналогично (10).

Пусть кривая L задана явно уравнением x=h(y), a≤ y ≤b, где h (y) - непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. Тогда

. (12)

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L, аналогично (10).

Пример 2. Вычислить , где кривая ОА задана на рис. 3.

Решение. Кривая ОА задается уравнением Положим ,

и применим формулу (11), при этом учитывая тот факт, что при движении по кривой от точки О до А переменная x меняется от 0 до 4.

Пример 3.

Вычислить где L - замкнутая кривая ОВАО из рис. 3.

Решение. Кривая L состоит из линий ОВ, ВА и АО. По свойству аддитивности криволинейного интеграла второго рода

. (13)

Отрезок ОВ задается уравнением у = 0 при 0 ≤ х ≤ 4. Значит, dy = 0.Тогда по формуле (11)

.

Отрезок ВA задается уравнением х = 4 при 0 ≤ у ≤ 4. Тогда dх = 0 и по формуле (12) имеем

.

Кривая АО задается уравнением при изменении значения у от 4 до 0. Значит, и по формуле (12) получаем

.

Подставляя вычисленные интегралы в (13), получим

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1 Поверхностные интегралы первого рода

Пусть - непрерывная в некоторой области пространства V функция и - гладкая поверхность S , где задана в некоторой области D плоскости xOy. Разобьем поверхность S на n частей , площади которых обозначим , а диаметры . В каждой части выберем произвольную точку и определим значение функции F в этих точках. Далее составим интегральную сумму .

Определение. Если при интегральная сумма имеет предел, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности S и обозначается .