Математика (стр. 18 )

x

§3. Оценки параметров генеральной совокупности

Рассмотрим распределение случайной величины, зависящей от параметра . Требуется по известным характеристикам выборки дать оценку характеристикам генеральной совокупности. Для этого используются точечные и интервальные оценки.

Точечные оценки параметров распределения

Точечная оценка параметра – это оценка, которая определяется одним конкретным числом

Оценкой математического ожидания генеральной совокупности служит выборочное среднее (или средняя взвешенная)

(2)

а оценкой дисперсии – выборочная дисперсия

. (3)

где – объем выборки, –варианты с частотами .

Для удобства вычислений выборочной дисперсии часто пользуются формулой:

(4)

Заданная таким образом оценка математического ожидания является несмещенной, то есть математическое ожидание выборочного среднего равно оцениваемому параметру (математическому ожиданию исследуемой случай-ной величины). Выборочная дисперсия, напротив, смещенная оценка генеральной дисперсии, и Поэтому вводится несмещенная оценка генеральной дисперсии – исправленная выборочная дисперсия

(5)

Соответственно число является несмещенной точечной оценкой среднего квадратичного отклонения.

Интервальные оценки параметров распределения

Точечная оценка параметра дает лишь некоторое приближенное значение. Чтобы получить представление о точности и надежности оценки, используют интервальную оценку параметра.

Интервальной оценкой параметра называется интервал , который с заданной вероятностью покрывает неизвестное значение параметра .

Такой интервал называется доверительным интервалом, а вероятность - доверительной вероятностью или уровнем надежности. Обычно доверительный интервал симметричен относительно оценки и определяется формулой:

(6)

и имеет вид

(7)

т. е условие

(8)

выполняется с вероятностью

Наибольшее отклонение выборочного значения параметра от его истинного значения называется предельной ошибкой выборки и характеризует точность оценки.

Обычно уровень надежности задается заранее и представляет собой число, близкое к единице: 0,95; 0,99; и т. д.

Для построения доверительного интервала требуется знать закон распределения исследуемой случайной величины. Пусть эта величина распределена по нормальному закону. Если при этом известно ее среднее квадратичное отклонение то доверительный интервал для математического ожидания генеральной средней имеет вид:

(9)

где а – оцениваемое математическое ожидание случайной величины в генеральной совокупности, – выборочное среднее, п – объем выборки, t – такое значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором

Для удобства пользования формулы для вычисления предельной ошибки выборки сведем в таблицу:

Таблица 3

Параметр	Оценка	Предельная ошибка выборки
Повторная выборка	Бесповторная выборка
n>30		n>30
P

При неизвестном среднем квадратичном отклонении доверительный интервал для математического ожидания при заданной надежности γ задается так:

(10)

Здесь s – исправленное выборочное среднее квадратичное отклонение, а критическая точка распределения Стьюдента, значение которой можно найти из таблиц по известным п и γ.

Пример 1.На заводе имеется N болванок. Результаты выборочной проверки 500 болванок приведены ниже:

Масса болванок (кг)	29-30	30-31	31-32	32-33	33-34	Итого
Количество (штук)	38	202	198	56	6	500

Выборка собственно случайная бесповторная. Найти доверительный интервал для оценки средней массы болванок при уровне доверительной вероятности . Среднеквадратическую ошибку для бесповторной выборки определяют по формуле , где выборочное среднее квадратичное отклонение, n=500, N=3000.

Решение.

Перепишем таблицу данную в условии задачи в следующем виде:

хi	29.5	30.5	31.5	32.5	33.5	итого
ni,	38	202	198	56	6	500

Для упрощения расчетов делаем замену переменного

Получим таблицу:

yi	-2	-1	0	1	2	n
ni,	38	202	198	56	6	500

Доверительный интервал вычислим по формуле:

Находим

Обратная замена:

Найдем выборочное среднеквадратичное отклонение

Среднеквадратическую ошибку для бесповторной выборки определяют по формуле

По таблице приложения 4 находим

Искомый доверительный интервал имеет вид:

Ответ:

§4. Элементы теории корреляции. Линейная корреляция

Корреляционной зависимостью называется статистическая зависимость, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение среднего значения другой:

, (1)

где - условная средняя (среднее арифметическое значений ,соответствующих значению ).

Уравнение (1) называется уравнением регрессии на , функция называется регрессией на , а ее график – линия регрессии на .

Аналогично определяется регрессия на .

Если обе линии регрессии Y на Х и Х на Y – прямые, то корреляцию называют линейной.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х имеет вид

(2)

где - условная средняя; и - выборочные средние признаков Х и Y; и - выборочные средние квадратичные отклонения; - выборочный коэффициент корреляции, причем

(3)

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Х на Y имеет вид

(4)

Если данные наблюдений над признаками Х и Y заданы в виде корреляционной таблицы с равностоящими вариантами, то целесообразно перейти к условным вариантам:

(5)

где С1 – «ложный нуль» вариант Х (новое начало отсчета); в качестве ложного нуля выгодно принять варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (условимся принимать в качестве ложного нуля варианту, имеющую наибольшую частоту); h1 – шаг, т. е. разность между двумя соседними вариантами Х; С2 – ложный нуль вариант Y; h2 – шаг вариант Y.

В этом случае выборочный коэффициент корреляции

(6)

причем слагаемое удобно вычислять, используя расчетную таблицу 3 (см. далее решение задачи).

Величины могут быть найдены либо методом произведений (при большом числе данных), либо непосредственно по формулам:

(7)

Зная эти величины, можно определить входящие в уравнения регрессии (2) и (4) величины по формулам:

Для оценки силы линейной корреляционной связи служит выборочный коэффициент корреляции .

Для обоснованного суждения о наличии связи между количественными признаками следует проверить, значим ли выборочный коэффициент корреляции.

Пример 2. Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (X,Y) представлены в корреляционной таблице. Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х. Выполнить чертеж.

Таблица 1.

Y	X	ny
20	25	30	35	40
16 26 36 46 56	4	6 8	10 32 4	3 12 1	9 6 5	10 18 44 22 6
nx	4	14	46	16	20	N=200

Решение.

Составим корреляционную таб. 2 в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей С1=30 и С2=36 (каждая из этих вариант расположена в середине соответствующего вариационного ряда).

Таблица 2.

v	u
-2	-1	0	1	2	nv
-2	4	6				10
-1		8	10			18
0			32	3	9	44
1			4	12	6	22
2				1	5	6
nu	4	14	46	16	20	N=100

Найдем и :