Математика (стр. 3 )

2. А1 (4; 4; 10), А2 (4; 10; 2), А3 (2; 8; 4), А4 (9; 6; 4) .

3. А1 (4; 6; 5), А2 (6; 9; 4), А3 (2; 10; 10), А4 (7; 5; 9) .

4. А1 (3; 5; 4), А2 (8; 7; 4), А3 (5; 10; 4), А4 (4; 7; 8) .

5. А1 (10; 6; 6), А2 (-2; 8; 2), А3 (6; 8; 9), А4 (7; 10; 3) .

6. А1 (1; 8; 2), А2 (5; 2; 6), А3 (5; 7; 4), А4 (4; 10; 9) .

7.  А1 (6; 6; 5), А2 (4; 9; 5), А3 (4; 6; 11), А4 (6; 9; 3) .

8.  А1 (7; 2; 2), А2 (5; 7; 7), А3 (5; 3; 1), А4 (2; 3; 7) .

9.  А1 (8; 6; 4), А2 (10; 5; 5), А3 (5; 6; 8), А4 (8; 10; 7) .

10.  А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8), А4 (8; 4; 1) .

11. Прямые 2х+у-1 = 0 и 4х-у-11=0 являются сторонами треугольника, а точка Р(1; 2) – точкой пересечения третьей стороны с высотой, опущенной на нее. Составить уравнение третьей стороны. Сделать чертеж.

12. Прямая 5х-3у+4 = 0 является одной из сторон треугольника, а прямые 4х-3у+2 = 0 и 7х+2у-13 = 0 его высотами. Составить уравнения двух других сторон треугольника. Сделать чертеж.

13. Точки А (3; -1) и В (4; 0) являются вершинами треугольника, а точка D (2; 1) - точкой пересечения его медиан. Составить уравнение высоты, опущенной из третьей стороны. Сделать чертеж.

14. Прямые 3х-4у+17 = 0 и 4х-у-12 = 0 являются сторонами параллелограмм, а точка Р (2; 7) – точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмм. Сделать чертеж.

15. Прямые х-2у+10 = 0 и 7х+у-5 = 0 являются сторонами треугольника, а точка D (1; 3) – точкой пересечения его медиан. Составить уравнение третьей стороны. Сделать чертеж.

16. Прямые 5х-3у+14 = 0 и 5х-3у-20 = 0 являются сторонами ромба, а прямая х-4у-4 = 0 – его диагональю. Составить уравнения двух других сторон ромба. Сделать чертеж.

17. На прямой 4х+3у-6=0 найти точку, равноудаленную от точек А (1; 2) и В (-1; -4). Сделать чертеж.

18. Найти координаты точки, симметричной точке А (5; 2) относительно прямой х+3у-1=0. Сделать чертеж.

19. Прямые х-3у+3=0 и 3х+5у+9=0 являются сторонами параллелограмм, а точка Р (34; –1) – точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмм. Сделать чертеж.

20. Точки А (4; 5) и С (2; -1) являются двумя противоположными вершинами ромба, а прямая х-у+1=0 – одной из его сторон. Составить уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.

21-30. Линия задана уравнением r = r (j) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от j = 0 до j=2p и придавая j значения через промежуток ; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.

31 – 40. Даны векторы в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить по формулам Крамера.

41 – 50. Дана матрица А. Найти матрицу А-1 обратную данной. Сделать проверку, вычислив произведение А. А-1 . Решить задачу а) воспользовавшись определением обратной матрицы. б) по методу Жордана-Гаусса.

51 – 60. Применяя метод исключения неизвестных (метод Гаусса), решить систему линейных уравнений.

Контрольная работа №2

Введение в математический анализ. Производная и ее приложения

61 – 70. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

62.

в) г)

д)

63. а) б)

в) г)

д)

64. а) б)

в) г)

д)

65. а) б)

в) г)

д)

66. а) б)

в) г)

67. а) б)

в) г)

д)

68. а) ; б)

в) г)

д)

69. а) б)

б) г)

д)

70. а) б)

б) г)

д)

71 – 80. Задана функция y=f(x). Установить, является ли данная функция непрерывной. В случае разрыва функции в некоторой точке найти ее пределы слева и справа, классифицировать характер разрыва. Построить схематично график функции.

77. 

78. 

79. 

80. 

81 – 90. Найти производные следующих функций.

82.

в)

83. а) б) y = arcctg [exp(5x)] ;

в) x = sin23t, y = cos23t .

84.

в) x = t4 + 2t, y = t2 + 5t .

85.

в) x = t – ln sint, y = t + ln cost .

86. a) б) y = exp(cos3x) .

в) x = tg t ,

87. a) б) y = 3x exp(-x-2) ;

в) x = t2 – t3 , y = 2t3 .

88. a) y = ln cos2x – ln sin2x ; б)

в) x = cos3t, y = sin3t .

89. a) б)

в) x = 3sint, y = 3cos2t .

90.

в) x = 2t – t2 , y = 2t3 .

91 – 100. Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.

101 – 110. Методами дифференциального исчисления: а) исследовать функцию y = f(x) для и по результатам исследования построить ее график; б) Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [a; b].

101. а) б) [-3; 3] .

102. а) б) [-1; 1] .

103. а) б) [-2; 2 ] .

104. а) б) [-2; 2] .

105. а) б) [ 1; 4] .

106. а) б) [ 0; 1] .

107. а) б) [ 1; 9] .

108. а) б) [-1; 1] .

109. а) б) [-2; 2] .

110. а) б) [-2; 2] .

Контрольная работа № 3

Неопределенный и определенный интегралы

111 – 120. Найти неопределенные интегралы. В случаях а), б), в) результат проверить дифференцированием.

111.

д) .

112.

д)

113.

д)

114.

а) б)

в) г)

д)

115.

а) б)

в) г)

д)

116.

а) б)

в) г)

д)

117.

а) б)

в) г)

д)

118.

а) б)

в) г)

д)

119.

а) б)

в) г)

д)

120.

а) б)

в) г)

д)

121 – 130. Вычислить определенные интегралы.

121. 122.

123. 124.

125. 126.

127. 128.

129. 130.

131 – 140. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится.

131. 132.

133. 134.

135. 136.

137. 138.

139. . 140.

141 – 150. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

141. .

142. .

143.

144., .

145. , .

146. , .

147. , .

148. , .

149. , .

150. , .

51 – 160. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления проводить с округлением до третьего десятичного знака.

151. . 152. .

153. . 154. .

155. . 156. .

157. . 158. .

159. . 160. .

Контрольная работа № 4

Функции нескольких переменных. Кратные интегралы

161 – 170. Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.

161. . 162. .

163. . 164. .

165. . 166. .

167. 168. .

169. . 170. .

171 – 180. Даны функция и точка . С помощью полного дифференциала вычислить приближенно значение функции в данной точке. Вычислить точное значение функции в точке и оценить относительную погрешность вычислений.

171. ; .

172. ; .

173. ; .

174. ; .

175. ;

176. ; .

177. ; .

178. ; .

179. ; .

180. ; .

181 – 190. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x; y) в ограниченной замкнутой области D. Область D изобразить на чертеже.

181. Z = x2 – y2 + 3xy + 7 ; D : -2 £ x £ 2, -2 £ y £ 2 .

182. Z = x2 + 2y2 – 1 ; D : x ³ -2, y ³ -2, x + y £ 4 .

183. Z = 3 – x2 – xy – y2 ; D : x £ 1, y ³ -1, x +1 ³ y.

184. Z = x2 + y2 + x – y ; D : x ³ 1, y ³ -1, x + y £ 2 .

185. Z = x2 +2xy +2y2 ; D : -1 £ x £ 1, -1 £ y £ 3 .

186. Z = 3x2 – 3xy +y2 + 1 ; D : x ³ -1, y ³ -1, x + y £ 1 .

187. Z = 5 + 2xy – x2 ; D : -1 £ y £ 4 – x2 .

188. Z = x2 – 2xy – y2 + x ; D : x £ 0, y £ 1, x + y + 2 ³ 0 .

189. Z = x2 – xy – 2 ; D : 4x2 – 4 £ y £ 1 .

190. Z = x2 + xy + 3y2 ; D : -1 £ x £ 1, -1 £ y £ 1 .

191 – 200. Даны: функция трех переменных u = f (x, y, z), точка M0 (x0; y0; z0) и вектор (а1, а2,, а3) . Найти: 1) grad u в точке М0; 2) производную в точке М0 по направлению вектора ; 3) наибольшую крутизну поверхности u = f (x, y, z) в точке М0.

191. M0 (1; -2; 1) ; (-1; 2; 2) .

192. u = ln|3x2 – 2y + z| ; M0 (1; 1; 0) ; (0; 4; 3) .

193. M0 (1; 1; 2) ; (-3; 0; 4) .

194. M0 (1; 2; 2) ; (3; 0; -4) .

195. M0 (2; 2; 1) ; (1; -2; 2) .

196. u = ln|10 – x2 – y2 – z2| ; M0 (2; 2; 1) ; (-4; 0; 3) .

197. M0 (3; 4; 0) ; (2; -1; 2) .

198. u = x2y2 + x2z2 + y2z2 ; M0 (-1; 2; 1) ; (0; 6; 8) .

199. M0 (3; 4; 0) ; (2; 2; -1) .

200. u = ln|12 – x2 – y2 + z| ; M0 (1; 1; -5) ; (3; 0; -4) .

201 – 210. Вычислить двойной интеграл по области D. Область интегрирования D изобразить на чертеже. Решить задачу вторым способом поменяв порядок интегрирования.

201. D : y = x2 , y = 2 – x2 .

202. D : x = 1 , y = x2 , y = 0 .

203. D : y = x, y = x3 , x ³ 0 .

204. D : y = x2 , y = .

205. D : x = 1 , y = , y = - x2 .

206. D : x = 1 , y = x2 , y = 0 .

207. D : y = x2 , y = .

208. D : x = 1 , y = y = - x3 .

209. D : y = x, y = .

210. D : x = 1 , y = x2 , y = -.

211 – 220. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного данными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость хОу .

211. z = 0 , z – x = 0 , y = 0 , y = 4 ,

212. z = 0 , z - 4= 0 , x = 0 , x + y = 4 .

213. z = 0 , z – 9 + y2 = 0 , x2 + y2 = 9 .

214. z = 0 , z – 1 + x2 = 0 , y = 0 , y = 3 – x.

215. z = 0 , y + z – 2 = 0 , x2 + y2 = 4 .

216. z = 0 , z – 1 + y2 = 0 , x = y2 , x = 2y2 + 1 .

217. z = 0 , 4z – y2 = 0 , 2x – y = 0 , x + y = 9 .

218. z = 0 , x2 + y2 – z = 0 , x2 + y2 = 4 .

219. z = 0 , z – y2 = 0 , x2 + y2 = 9 .

220. z = 0 , z – 4 + x + y = 0 , x2 + y2 = 4 .

Контрольная работа № 6

Дифференциальные уравнения

Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

271. 3x + xy+ y= 0, y(1) = 1.