Математика (стр. 9 )

,

предел справа

.

Так как пределы слева и справа конечны, равны между собой и равны значению функции в точке , то получаем, что функция непрерывна в точке .

Пусть . Находим аналогично

Предел слева

,

Предел справа

Так как пределы слева и справа конечны, но не равны между собой, то в точке функция имеет разрыв первого рода со скачком.

.

Строим график функции , выделяя области определения составляющих

функций стрелками, если они не определены в точке или .

ЗАДАНИЕ №12

Следующая задача относится к вычислению производных.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки «x».

Производной функции y=f(x) в точке «x» называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента , при стремлении к нулю.

Производная функции f(x) в точке x существует, если f(x) непрерывна в точке x и

Для отыскания производных элементарных функций используется таблица производных основных элементарных функций и правила дифференцирования.

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Основные правила дифференцирования:

Для дифференцируемых в точке x функций f(x) и g(x) справедливы равенства:

Производная сложной функции где - промежуточный аргумент. Если существуют и , то

или

Производная обратной функции. Если для функции y=f(x) существует обратная функция , которая имеет в точке y производную , то

или

Дифференцирование неявной функции. Пусть уравнение

определяет y как неявную функцию от x, т. е. y=f(x) – неизвестная дифференцируемая функция и F(x, y) сложная функция. Дифференцируем по x обе части и получаем уравнение первой степени относительно , из которого легко находится - производная искомой функции.

Производная параметрически заданной функции x=x(t), y=y(t), - параметр. Если существуют производные и , то

Пример 1. Найти производные следующих функции:

а) , б) , в)

Решение: а) . Наша функция является суммой двух функций. Воспользуемся свойством производной суммы

Константу вынесем за знак производной и получим две производные сложных функций:

Поскольку внешняя функция в первом слагаемом – степенная, а во втором – натуральный логарифм, то для , и , по формуле дифференцирования сложной функции получим:

б) . Здесь мы воспользуемся свойством производной произведения двух функций, где - есть производная сложной функции, внешняя функция которой показательная, а внутренняя – степенная.

в) , . Производную функции, заданной параметрически, находим, учитывая, что , - сложные функции.

ЗАДАНИЕ №13

Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.

Для раскрытия неопределённостей вида или используется правило Лопиталя:

Пусть и две дифференцируемые на некотором интервале функции, причем , и пусть при (или ), обе эти функции стремятся к нулю (или ). Тогда, если при данном стремлении x существует, то существует и

.

Пример 1. Найти предел

Решение: При имеем неопределённость . Функции , , дифференцируемы в некоторой окрестности точки , причем . Если , то по правилу Лопиталя получим:

Ответ:

Если отношение производных опять представляет собой неопределенность, вида или , то можно снова применить правило Лопиталя, т. е. перейти к отношению вторых производных и т. д.

Пример 2. Найти предел .

Решение: При получается неопределенность вида . Выполняя преобразования, указанную неопределённость приведем к виду

Теперь при и числитель, и знаменатель стремятся к нулю. Применяем правило Лопиталя

Ответ:

Встречаются также неопределенности типа . Они раскрываются аналогично предыдущему случаю, то есть приводятся к виду

Пример 3. Найти предел .

Решение : Здесь , при . Следовательно имеем неопределенность . Приводим эту последовательность к виду и получаем

Ответ:

ЗАДАНИЕ №14

Следующая задача посвящена исследованию графика функции методами дифференциального исчисления.

I.  Методами дифференциального исчисления исследовать функцию для и по результатам исследования построить ее график.

II.  Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке[a;b].

I.  Для исследования функции используется общая схема исследования функции.

1.  Найти область допустимых значений (ОДЗ) аргумента функции .

2.  Найти точки пересечения функции с осями координат Оx и Oy.

3.  Найти точки разрыва и определить тип.

4.  Установить, является ли функция четной, нечетной и периодической.

5.  Найти асимптоты графика функции .

6.  Найти , определить точки экстремумов и интервалы возрастания >0) и убывания<0) графика функции .

7.  Найти , определить точки перегиба (=0) и интервалы выпуклости (<0) и вогнутости (>0) графика функции .

8.  По результатам исследования построить график функции .

II.  План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a,b].

1.  Найти критические точки функции =0 или не существует).

2.  В каждой критической точке определить знак производной слева и справа. Если меняет знак при переходе через критическую точку, то в данной точке функция имеет локальный экстремум, иначе эта точка не является точкой экстремума.

3.  Вычислить значения функции в точках экстремума и при x=a, x=b.

4.  Среди этих значений найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a,b].

Пример 1. Пусть .

Решение:

1.  Функция определена и непрерывна в интервале 0<x<+∞, т. к. область допустимых значений для функции y=lnx:

2.  В точке график пересекает ось Ox. С осью Oy график функции не пересекается.

3.  В граничной точке x=0 области допустимых значений функция имеет бесконечный разрыв II рода, потому что

.

4.  Функция является четной, нечетной или периодической, если Заданная функция не является четной или нечетной, т. к. для x<0 она не определена.

Находим

Следовательно, является функцией общего вида.

5.  Так как в точке x=0 имеет бесконечный разрыв, то прямая x=0 (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Ищем наклонные асимптоты .

Поэтому (ось Ox) есть горизонтальная асимптота (y=0)

6.  Находим и критические точки:

1-lnx=0. lnx=1. x=e.

Исследуем знак производной в каждом из интервалов (O,e) и (e,∞), на которые критическая точка разбивает область определения функции.

Возьмем точку в (O,e), например, >0; возьмем точку в (e,∞), например, <0.

Составим таблицу

	(0,e)	e≈2.72	(e,+∞)
	+	0	-
	Возрастает		Убывает

7.  Находим вторую производную , , , , , .

Определяем знак второй производной на интервалах . Возьмем в интервале точку <0. Возьмем в интервале точку >0.

Составим таблицу

	-	0	+
График	Выпуклый		Вогнутый

Точка перегиба имеет координаты .

8.  На основании полученных данных строим график. По оси Ox удобно взять масштаб, равный 1, а по оси Oy, равный 0.1.

На отрезке [1; 5] функция имеет локальный максимум в точке , равный . Вычисляем значения функции в точке x=1 и x=5: y(1)=0, .

Следовательно, на отрезке [1; 5] .

ЗАДАНИЕ №15

Функция f(x) является первообразной для функции f(x) на промежутке x, если

Совокупность всех первообразных называется неопределённым интегралом от функции f(x)

где С – произвольная постоянная

Свойства неопределенного интеграла.

1. Если a – постоянная величина, то , т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций

.

3. , т. е. знак дифференциала d и знак интеграла взаимно уничтожаются в указанном порядке.

4. знаки d и взаимно погашаются и в таком порядке, лишь следует добавить произвольную константу.

Основная таблица интегралов.

Непосредственное интегрирование.