Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" (стр. 10 )

Корреляционная функция стационарного процесса обладает следующими свойствами:

1.  .

2.  .

3. 

.

Случайный процесс называется марковским процессом, если для любого момента времени t0 при фиксированном (каково бы ни было х) случайные величины при не зависят от случайных величин при . Если условиться считать состоянием некоторой физической системы S в момент времени t, то случайный процесс называется марковским, если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем (при ) зависит только от состояния в настоящем (при ) и не зависит от ее поведения до этого момента.

Марковские процессы могут быть с дискретными и непрерывными состояниями.

При анализе марковских процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться так называемым графом состояний. Граф состояний изображает различные состояния системы и возможные переходы из состояния в состояние (рис. 9.1)

Рис. 9.1

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны только в строго определенные заранее фиксированные моменты времени . В промежутке времени между этими моментами система S сохраняет свое состояние.

Марковский случайный процесс c дискретными состояниями называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны в любые случайные моменты времени t.

Марковский процесс с дискретным временем можно рассматривать как функцию целочисленного аргумента: (номер шага перехода).

Тогда означает состояние системы через k шагов.

Последовательность переходов (событий)

…, …

называется марковской цепью.

Вероятности

,

определяющие возможные переходы системы S на -м шаге из состояния (независимо от предшествующих обстоятельств) в состояние , называются переходными вероятностями.

Если переходные вероятности не зависят от номера шага, марковская цепь называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Матрица

,

элементами которой являются вероятности перехода для каждого состояния за один шаг, называется матрицей перехода.

Очевидно, что эти переходы образуют полную группу событий, так что для каждой строки имеет место равенство

, .

Следовательно, вероятность того, что система не выйдет из состояния , определяется равенством

.

Для описания марковского процесса, протекающего в системе с дискретными состояния и дискретным временем, пользуются вероятностями состояний

того, что система через шагов находится в состоянии ,

Вероятности удовлетворяют условию

.

Вероятности состояний после -го шага определяются рекуррентной формулой

, .

Для определения вероятностей состояний после 1-го шага по данной рекуррентной формуле необходимо знать начальные условия, т. е. вероятность , начального состояния системы .

Для марковского процесса, протекающего в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, вероятности состояний () в любой момент времени определяются из системы дифференциальных уравнений Колмогорова:

, ,

где обозначают плотность потока событий, переводящих систему из состояния в состояние (для марковского процесса все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими).

При интегрировании системы дифференциальных уравнений Колмогорова должны быть указаны начальные условия, характеризующие состояние системы в начальный момент времени (при ).

ПРИМЕР.

Случайный процесс задан в виде , где - распределенная по нормальному закону случайная величина с параметрами ; , . Найти одномерную плотность распределения вероятности , математическое ожидание , дисперсию и корреляционную функцию .

РЕШЕНИЕ.

.

.

Так как центрированный случайный процесс

, то

.

Значение случайного процесса является нормально распределенная случайная величина, поэтому одномерная плотность вероятности имеет

.

ПРИМЕР.

Акции некоторой компании были выброшены для продажи на рынок в моменты времени , , . Возможные состояние компании: - состояние компании устойчивое; - состояние компании немного ухудшилось; - состояние компании существенно ухудшилось; - компания обанкротилась. Соответствующий граф состояния компании показан на рис. 9.2.

Рис. 9.2

Определить вероятность состояния компании после трех продаж акций на рынке.

РЕШЕНИЕ.

Из графа состояния имеем , , и

Аналогично находим , , , , , , , , , , , .

Таким образом, матрица переходных вероятностей имеет вид

Так как в начальный момент компания находилась в состоянии , то вероятности всех состояний компании для начального момента равны нулю, кроме вероятности начального состояния , которая равна единице, т. е. , .