Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" (стр. 2 )

4. Частота суммы двух несовместных событий А и В равна сумме частот этих событий:

5. Частота произведения двух событий равна произведению частоты одного из них на условную частоту другого.

Условной частотой называют частоту одного события, вычисленную при условии наступления другого события, обозначают Следовательно,

Вероятностью события А называется постоянное число, около которого группируются частоты этого события по мере увеличения количества опытов (статистическое определение вероятности события).

При небольшом числе опытов, частота события носит в значительной мере случайный характер. Пусть, например, опыт - бросание монеты, событие А - "появление герба". На рис.8 изображена зависимость появление герба от числа опытов n (логарифмическая шкала по оси абсцисс).

рис.8

Из рис.8 видно, что по мере увеличения n частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь сквозь ряд случайных отклонений к постоянной величине, равной 0,5 (это и есть вероятность появление герба в одном опыте).

Хотя вероятность события в самой своей основе связана с опытным, практическим понятием частоты события, однако для ее определения не всегда есть возможность провести большое число опытов.

Если пространство , связанное с опытом, состоит из конечного числа равновозможных элементарных событий то вероятность любого случайного события А в таком опыте равна отношению числа m благоприятствующих ему элементарных событий к их общему числу n (классическое определение вероятности событий):

Если пространство содержит бесконечное множество элементарных событий, то может быть использовано геометрическое определение вероятности, когда вероятность попадания точки в любую область пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему) и не зависит от ее расположения и формы.

Если геометрическая мера всей области S, а геометрическая мера части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию А, есть , , то вероятность события

В общем случае, когда множество элементарных событий является непрерывным, строится аксиоматическая теория вероятностей.

При этом для того, чтобы теория вероятностей хорошо согласовалась с опытом, аксиомы теории вероятностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала основными свойствами частоты события.

Вероятностью события Р(А) события А называется определенная на действительная функция, удовлетворяющая трем аксиомам:

Аксиома 1. Вероятность события А есть неотрицательное число:

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице:

Аксиома 3. Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Из аксиом 1, 2, 3 следует, что в частности, вероятность невозможного события равно нулю. Важно отметить, что непрерывном вероятном пространстве из равенств Р(А)=1 или Р(А)=0 не следует, что А является достоверным или соответственно невозможным событием. Из аксиомы 3 следует связь между вероятностями прямого или противоположного событий:

Вводимая далее аксиома 4 определяет условную вероятность.

Аксиома 4. Условная вероятность Р(А/В) события А при условии, что уже имеет место событие В, определяется с помощью формулы:

Р(АВ)=Р(В)*Р(А/В)=Р(А)*Р(В/А).

Два события А и В называются зависимыми, если вероятность каждого из них меняется в связи с наступлением или не наступлением другого. В противном случае события А и В называются независимыми.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению этих событий:

Р(АВ)=Р(А)*Р(В).

Задачи на вычисление частоты событий и их вероятностей.

Задача 1. Среди 250 изготовленных деталей оказалось пять, не отвечающих стандарту. Определить частоту появления деталей, не отвечающих стандарту.

РЕШЕНИЕ: Из определения частоты получаем, что

Задача 2. Среди 25 студентов группы, в которой десять девушек, разыгрывается пять билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей окажутся две девушки.

РЕШЕНИЕ: Число всех равновозможных случаев распределить пять билетов среди 25 студентов равно числу сочетаний Число групп по трое юношей из 15, которые могут получить билеты, равно С. Каждая такая тройка может сочетаться с любой парой из десяти девушек, а число таких пар равно С. Таким образом, число групп по пять студентов, в каждую из которых будут входить трое юношей и две девушки, равно произведению Это произведение равно числу благоприятствующих рассматриваемому событию случаев. Из классического определения вероятности события, получаем:

Задача 3. В любые моменты интервала времени Т равновозможны поступления двух телефонных звонков. Абонент не сумеет ответить на оба звонка, если разность между моментами поступления сигналов будет меньше . Определить вероятность Р(А) того, что абонент не сумеет ответить на оба звонка.

РЕШЕНИЕ: Изобразим случайные моменты поступления звонков в виде декартовых координатах на плоскости. Областью возможных значений является квадрат площадью (рис.9). Абонент не сумеет ответить на два звонка, если

Рис. 9

Данная область лежит между прямыми Площадь этой области Используя геометрическое определение вероятности, получаем:

При определении вероятности составных событий используют основные теоремы теории вероятностей, являющиеся следствием приведенных выше аксиом и определений.

<big>3. Основные теории вероятностей.</big>

<big>Теорема сложения вероятностей</big>

Вероятность появления какого-либо одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B+...+L)=P(A)+P(B)+...+P(L).

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Следствие 2. Вероятность события, противоположного данному, равна разности между единицей и вероятностью данного события, т. е.

Теорема сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. В случае, когда события А и в совместны, вероятность суммы этих событий выражается формулой

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения событий ABC...KL равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место, т. е.

P(ABC...KL)=P(A)*P(B/A)*P(C/AB)*...*P(L/ABC...K).

В частности, вероятность произведения двух событий А и В

Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(А/В).

Следствие. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:

P(ABC...KL)=P(A)*P(B)*P(C)*...*P(L).

Отметим, что вероятность появления хотя бы одного события из совокупности любого числа совместных событий легче производить, если перейти к противоположным событиям. Тогда вероятность появления хотя бы одного из совместных событий А, В, С,...,L равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий

Рассмотрим типовые задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.

Задача 1. Мишень состоит из трех зон. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле равна 0,15; во вторую - 0,23; в третью - 0,17. Найти вероятность промаха.

РЕШЕНИЕ: Обозначим событие - промах, А - попадание в мишень. Тогда где - попадание соответственно в первую, вторую и третью зоны. По теореме сложения вероятностей:

)

откуда .

Задача 2. В урне 2 белых и три черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

РЕШЕНИЕ: Обозначим: событие А - появление двух белых шаров. Событие А представляет собой произведение двух событий:

А=

где - появление белого шара при первом вытаскивании;

- появление белого шара при втором вытаскивании.

По теореме умножения вероятностей

На практике редко встречаются задачи, в которых нужно применять только теорему умножения или сложения вероятностей. Обычно обе теоремы приходится применять совместно.