Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" (стр. 7 )

при

5. Вероятность попадания случайной точки в область D плоскости x0y определяется по формуле .

Случайные величины Х и Y называются независимыми, если условный закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение примет другая:

и .

Для независимых случайных величин

.

Основными числовыми характеристиками системы двух случайных величин (Х, Y) являются следующие.

1.  Математические ожидания и .

Для системы дискретных случайных величин

.

.

Для системы непрерывных случайных величин

.

.

2.  Дисперсии и .

Для системы дискретных случайных величин

.

.

Для системы непрерывных случайных величин

.

.

3.  Корреляционный момент , характеризующий линейную связь между случайными величинами Х и Y, а также их разброс вокруг точки

Для системы дискретных случайных величин корреляционный момент равен:

Для системы непрерывных случайных величин

Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю. Однако случайные величины могут быть зависимыми, но некоррелированными . Корреляционный момент удобно вычислять по формуле

Размерность корреляционного момента равна произведению размерностей случайных величин X и Y. Чтобы получить безразмерную величину к тому же характеризующую только степень линейной зависимости между случайными величинами X и Y, а не их разброс относительно точки , вводят коэффициент корреляции:

.

Еще раз подчеркнем, что коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости между случайными величинами. Если линейной зависимости нет, то . Если между случайными величинами существует жесткая функциональная зависимость:

то коэффициент корреляции , где знак плюс берется в случае, когда а>0, а знак минус, когда а<0. В случае, когда , говорят, что X и Y связаны положительной корреляцией, а когда - отрицательной корреляцией. При возрастании одной случайной величины в случае положительной корреляции другая проявляет тенденцию также возрастать, а при отрицательной корреляции - убывать.

Как уже отмечалось, из независимости случайных величин следует их некоррелированность, но их некоррелированности () еще не вытекает из независимость. Если , это означает только отсутствие линейной связи между случайными величинами; любой другой вид связи может при этом присутствовать.

Для системы n случайных величин (Х1, Х2, … Хn) корреляционный момент записывается следующим образом:

,

если случайные величины непрерывны, а для дискретных случайных величин интегрирование заменяется суммированием по всем возможным значениям случайных величин.

Свойства корреляционного момента следующие:

1.  , т. е. при перемене индексов местами корреляционный момент не меняется.

2.  , если случайные величины X и Y независимы.

3.  .

4.  Если , то .

5. 

Корреляционной матрицей системы n случайных величин (Х1, Х2, … Хn) называется матрица, составленная из корреляционных моментов всех этих величин взятых попарно:

,

где .

Так как , то элементы корреляционной матрицы, расположенные симметрично главной диагонали, равны. Поэтому обычно заполняется только половина корреляционной матрицы:

.

По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсии случайных величин системы:

; ; …; .

Нормированной корреляционной матрицей системы n случайных величин называется матрица, составленная из коэффициентов корреляции всех этих величин, взятых попарно:

,

где - коэффициент корреляции между случайными величинами и .

В заключение отметим, что для случайных величин распределенных по закону Гаусса термины “независимость” и “некоррелированность” эквиваленты, т. е. если две нормально распределенные случайные величины Х и Y некоррелированны, то они и независимы.

ПРИМЕР.

Два стрелка, независимо друг от друга, делают по одному одиночному выстрелу каждый по своей мишени. Пусть случайная величина Х – число попаданий первого стрелка, Y – число попаданий второго стрелка. Вероятность попадания для первого стрелка р=0,8, для второго р=0,6. Построить матрицу распределения системы случайных величин (Х, Y).

РЕШЕНИЕ.

Возможные значения случайных величин Х и Y:

; ; ; .

Возможные пары значений системы случайных величин:

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Соответствующие этим парам вероятность вычисляем пользуясь теоремой умножения для независимых событий.

Имеем:

.

.

.

.

Матрица распределения системы случайных величин имеет вид

	0	1
0	0,08	0,12
1	0,32	0,48

.

.

.

Это следует и из условия задачи, в котором сказано, что стрелки стреляют независимо друг от друга. Следовательно, случайные величины Х и Y независимы, а из этого следует их некоррелированность.

ПРИМЕР.

Дана корреляционная матрица системы случайных величин (Х1, Х2, Х3) вида

.

Найти нормированную корреляционную матрицу.

РЕШЕНИЕ.

Т. к. ; ; , то ; ; .

; .

; .

; ; .

.

7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА

Во многих случаях необходимо рассматривать две случайные величины Х и Y, причем каждому значению случайной величины Х ставится в соответствие определенное значение случайной величины Y. В этом случае говорят, что Y является функцией от Х: