Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" (стр. 5 )

.

Математическое ожидание случайной величины связано со средним арифметическим ее наблюденных значений при большом числе опытов. При достаточно большом числе опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины приближенно равно ее математическому ожиданию.

Кроме математического ожидания характеристиками положения случайной величины являются такие ее характеристики, как мода и медиана.

Модой М0 случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (то значение х, для которого вероятность Р(Х=х) или плотность распределения f(x) достигают максимума).

Если вероятность или плотность распределения достигают максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным; а если в одной точке – то унимодальным.

Медианой Ме непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого

.

Геометрически медиана – это абсцисса той точки на оси х, для которой площади по f(x), лежащие слева и справа от нее, одинаковы и равны?.

Рис. 4.3. Определение моды и медианы случайной величины

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание от квадрата разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. Дисперсия обозначает D[X] или .

Для дискретной случайной величины

.

Для непрерывной случайной величины

.

Для вычисления дисперсии удобно использовать также следующую формулу, которая легко получается из первой:

;

.

Дисперсия случайной величины характеризует рассеивание, разбросанность случайной величины около ее математического ожидания. Само слово “дисперсия” означает “рассеивание”.

Дисперсия имеет размеренность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется среднеквадратичным отклонением (или “стандартом”, “стандартным отклонением”) случайной величины.

.

Зная mx и случайной величины Х, можно составить себе приближенное представление о диапазоне ее возможных значений. А именно, значения случайной величины Х только изредка выходят за пределы интервала m±3. Это правило носит название “правила трех сигма”.

ПРИМЕР. Найти дисперсию случайной величины, имеющей следующий ряд распределения:

хі	0	2	5
рі	0,3	0,5	0,2

РЕШЕНИЕ. Вначале находим математические ожидания.

.

Для вычисления дисперсии воспользуемся второй формулой:

.

Из определения математического ожидания и дисперсии следуют некоторые простейшие и достаточно очевидные свойства этих числовых характеристик.

1.  Математическое ожидание неслучайной величины с равно самой величине С:

M[C]=C.

2.  Дисперсия неслучайной величины С равна нулю:

D[C]=0.

3.  M[X+C]=M[X]+C.

4.  D[X+C]=D[X].

5.  M[cX]=cM[X].

6.  D[cX]=c2D[X], и, следовательно,

.

Кроме рассмотренных выше числовых характеристик применяют характеристики, называемые начальными и центральными моментами случайной величины Х.

Начальным моментом S-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание S-й степени этой величины:

.

Для дискретной случайной величины начальный момент S-го порядка определяется суммой:

,

а для непрерывной – интегралом:

.

Как видно, математическое ожидание – это первый начальный момент случайной величины. Перед тем как дать определение центральных моментов введем понятие “центрированной случайной величины”, как ее отклонения от математического ожидания:

,

где - центрированная случайная величина.

Центральным моментом порядка S случайной величины Х называется математическое ожидание S-й степени центрированной случайной величины:

.

Для дискретной случайной величины центральный момент выражается суммой:

;

для непрерывной – интегралом:

.

Очевидно, что

.

.

Таким образом, второй центральный момент случайной величины – это ее дисперсия, характеризующий, как уже указывалось, рассеивание случайной величины около ее математического ожидания.

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (“скошенности”) распределения. Если распределение симметрично относительно mx то все центральные моменты нечетного порядка, если они существуют, равны нулю. Разделив третий центральный момент на куб ее среднеквадратичного отклонения, получают безразмерный коэффициент , который называется коэффициентом асимметрии:

.

Ниже на рисунке изображены три распределения случайных величин; одна из них имеет положительную асимметрию, у второй =0, а третья имеет отрицательную асимметрию (<0).

Рис. 4.4. Коэффициент асимметрии для различных случайных величин

Четвертый центральный момент служит для характеристики островершинности (“крутости”) распределения. Он входит в выражение для коэффициента Ех, называемого эксцессом:

Для очень островершинных плотностей распределения Ех>0, а для плосковершинных Ех<0.

Рис. 4.5. Плотности распределения с различным коэффициентом Ех.

Для нормального закона распределения, который будет рассмотрен ниже, Ех=0.

5. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ВАЖНЫЕ ДЛЯ ПРАКТИКИ

Биномиальное распределение имеет место в том случае, когда случайная величина Х выражает число появлений некоторого события А при n независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях. Вероятность появления события А в каждом опыте постоянна и равна р.

Возможными значениями биномиально распределенной случайной величины Х являются 0, 1, 2, …, n, а вероятность того, что Х=m, выражается формулой Бернулли:

, где q=1-p

Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, , а дисперсия .

Закон Пуассона (закон редких явлений) являющийся предельным для биномиального закона, когда число опытов неограниченно увеличивается () и одновременно параметр р неограниченно уменьшается (), но так, что их произведение np сохраняется в пределе постоянным ().

Возможными значениями случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, являются числа 0, 1, 2, …, а вероятность того, что X=m, выражается формулой

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равны между собой и равны параметру , т. е.

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке , если ее плотность распределения

Математическое ожидание равномерного распределения находится посредине отрезка его распределения, т. е.

.

а дисперсия

.

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины Х на интервал , вычисляется по формуле:

.

Непрерывная случайная величина Х имеет показательное (или “экспоненциальное”) распределение, если плотность распределения

Функции распределения для показательного закона имеет вид

Плотность распределения показательного закона

Функция распределения показательного закона

Для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение равны между собой и равны , т. е.