Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" (стр. 3 )

Задача 3. В урне 5 белых шаров и 2 черных. Из нее вынимаются один за другим два шара. Найти вероятность того, что они будут разных цветов.

РЕШЕНИЕ: Событие С=шары разных цветов распадается на сумму двух несовместных событий:

где первый шар белый, второй черный,

первый шар черный, второй белый.

Вероятности событий найдем по теореме умножения вероятностей.

где шар белый,

шар черный.

По теореме сложения вероятностей

.

Следствием обеих основных теорем - теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей - является так называемая формула полной вероятности.

Формула полной вероятности.

Если событие А может произойти только совместно с одним из событий образующих полную группу несовместных событий (гипотез), то вероятность Р(А) появления события определяется по формуле полной вероятности:

где - вероятность гипотезы - условная вероятность события А при этой гипотезе.

Задача: Имеются три одинаковые на вид урны: в первой урне 2 белых шара и 1 черный шар; во второй - 3 белых и один черный; в третьей - 2 белых и 2 черных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим три гипотезы:

Н- выбор первой урны;

Н- выбор второй урны;

Н- выбор третьей урны,

и событие А - появление белого шара.

Так как гипотезы, по условию задачи, равновозможны, то

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны:

По формуле полной вероятности:

Теорема гипотез (формула Байеса).

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез или формула Байеса.

Если вероятности несовместных гипотез образующих полную группу событий, до опыта были а в результате опыта появилось событие А, то условная вероятность с учетом появления события А вычисляется по формуле Байеса:

В частном случае, если все гипотезы до опыта имеют одинаковую вероятность формула Байеса принимает вид:

Задача. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

РЕШЕНИЕ: До опыта возможны следующие гипотезы:

Н- ни первый, ни второй стрелок не попадет;

Н- оба стрелка попадут;

Н- первый попадет, а второй нет;

Н- первый стрелок не попадет, а второй попадет.

Вероятности этих гипотез:

Условные вероятности наблюденного события А при этих гипотезах равны:

Вероятность того, что пробоина принадлежит первому стрелку в соответствии с теоремой гипотез равна:

2. Теорема сложения справедлива только для несовместимых.

3. Последовательность испытаний.

ВЫВОДЫ:

Основные правила вычисления вероятностей составных событий задаются теоремами сложения, умножения формулой полной вероятности и формулой Байеса.

Теорема о повторении опытов

При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. Причем интерес представляет не событие А в каждом опыте, а общее число появления события А в серии опытов. Опыты называются независимыми, если вероятность исхода каждого опыта не зависит от исходов других опытов. Если опыты производятся в одинаковых условиях, то вероятность события А во всех опытах одинакова. Если условия различны, то вероятность меняется от опыта к опыту.

Частная теорема о повторении опытов формулируется следующим образом.

Если вероятность p наступления события А в каждом из n независимых опытов постоянна, то вероятность того, что в n опытах событие А наступит m раз определяется формулой Бернулли:

где - число сочетаний из n элементов по m, q=1-p.

Это формула выражает биномиальное распределение вероятностей, так как все вероятности Р являются членами разложения бинома

Определение вероятностей по формуле Бернулли усложняется при больших значениях n и при малых p или q. В этом случае удобнее использовать приближенные асимптотические формулы. Если , а , но , то в этом случае

Эта формула определяется теоремой Пуассона. Если в схеме Бернулли количество опытов n достаточно велико , а вероятность р события А в каждом опыте постоянно, то вероятность может определяться по приближенной формуле Муавра-Лапласа:

,

где ;

- локальная функция Лапласа, которая табулирована и приводится в справочниках. Данная формула отражает, так называемую, локальную теорему Муавра-Лапласа.

,

Вероятность появления события А не менее m раз при n опытах вычисляется по формуле:

Вероятность появления события А хотя бы один раз при n опытах

Наивероятнейшее число наступление события А в n опытах, в каждом из которых оно может наступить с вероятностью p (и не наступить с вероятностью q=1-p), определяется из двойного неравенства

Если событие А в каждом опыте может наступить с вероятностью p, то количество n опытов, которое необходимо произвести для того, чтобы с заданной вероятностью Рзад. можно было утверждать, что данное событие А произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле:

Частная теорема о повторении опытов касается того случая, когда вероятность события А во всех опытах одна и та же. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производится в неодинаковых условиях, и вероятность события от опыта к опыту меняется.

Способ вычисления вероятности заданного числа появлений события в таких условиях даст общая теорема о повторении опытов.

Если производятся n независимых опытов в различных условиях, причем вероятность появления события А в i-м опыте равна то вероятность Р того, что событие А в n опытах появится m раз, равна коэффициенту при Z в разложении по степеням Z производящей функции где

Задача 1. Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0,95. Какова вероятность того, что среди десяти изделий не более одного нестандартного?

РЕШЕНИЕ: Пусть событие А состоит в том, что среди десяти изделий нет ни одного нестандартного изделия, а событие В - в том, что среди десяти изделий только одно нестандартное. Тогда искомая вероятность p=P(A+B). События А и В несовместны, поэтому p=P(A)+P(B). Применяя частную теорему о повторении опытов, найдем:

Задача 2. При установившемся технологическом процессе 80% всей произведенной продукции оказывается продукцией высшего сорта. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 250 изделий.

РЕШЕНИЕ: Подставляя соответствующие числа в неравенство получаем Поскольку может быть только целым числом, то