Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" (стр. 4 )

Выводы:

1. Современная аксиоматическая концепция теории вероятностей не противоречит предложенным ранее статистическому, классическому и геометрическому определениям вероятности события.

2. В общем (непрерывном) вероятностном пространстве в отличие от дискретного могут существовать возможные события, обладающие нулевой вероятностью появления. Соответственно противоположные к ним события (их дополнения) хотя и не могут быть названы достоверными, но имеют вероятность осуществления, равную единице.

3. Основные правила вычисления вероятности составных событий задаются теоремами сложения, умножения, Байесса и формулой полной вероятности.

4. Частная и общая теоремы о повторении опытов позволяют определить вероятность того, что в n опытах событие наступит m раз для случая независимых и зависимых опытов, соответственно.

4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Случайной величиной называется величина Х, которая в результате опыта может принимать то или иное значение (но только одно), причем, до опыта, не известно, какое именно.

Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными. Дискретная случайная величина может принимать конечное или бесконечное счетное множество различных значений.

Пример дискретной случайной величины: Х – число появлений герба при четырех бросаниях монеты (возможные значения 0, 1, 2, 3, 4).

Множество значений непрерывной случайной величины занимает какой-то участок числовой оси, границы которого могут быть как зафиксированными, так и неопределенными.

Пример непрерывной случайной величины: У – время ожидания автобуса на остановке.

Случайная величина считается полностью заданной, если задан ее закон распределения, который может иметь разные формы.

Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Законами распределения дискретной случайной величины являются: 1) ряд распределения; 2) многоугольник распределения; 3) функция распределения. Законами распределения непрерывной случайной величины являются: 1) функции распределения; 2) плотность распределения случайной величины.

Дискретная случайная величина

Рядом распределения случайной величины Х называется таблица, в которой перечислены возможные значения х1, х2, …, хn случайной величины Х и соответствующие им вероятности р1, р2, …, рn, где рі=Р(Х=хі), а .

хі	х1	х2	…	хn
рі	р1	р2	…	Рn

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), равна вероятности Р(Х<х) того, что случайная величина Х будет меньше произвольно выбранного значения х.

Функция распределена F(x) для дискретной случайной величины Х вычисляется по формуле

,

где суммирование ведется по всем значениям і, для которых .

ПРИМЕР. Проводится три независимых опыта (например, бросание монеты), в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р=0,5. Пусть случайная величина Х – это чисто появлений события А в трех опытах. Определить законы распределения случайной величины Х.

РЕШЕНИЕ. Случайная величина Х может принимать следующие значения: х1=0; х2=1; х3=2; х4=3. Вероятность Р(Х=хі)=рі определяются по формуле Бернулли (частная теорема повторения опытов):

; ; ;

Таким образом, ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

хі	0	1	2	3
рі	1/8	3/8	3/8	1/8

Очевидно, что .

Многоугольник распределения показан ниже на рисунке 1.

Рис. 4.1. Многоугольник распределения

Построим функцию распределения случайной величины Х:

при х 0, ;

при 0<х 1, ;

при 1<х 2, ;

при 2<х 3, ;

при x>3, ;

График функции распределения представлен ниже.

Рис. 4.2. Функции распределения

Функции распределения как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, имеет следующие свойства, которые наглядно следуют из следующей ее геометрической интерпретации. Так как , то ее можно интерпретировать как вероятность того, что случайная точка Х попадет левее заданной точки Х.

Из этой геометрической интерпретации получаем свойства:

1. F(x) – неубывающая функция своего аргумента, т. е. если x2>x1, то F(x2) F(x1).

2. F( - ) =0.

3. F( +) =1.

4. 0 F(x) 1.

5. Вероятность появления случайной величины в интервале [a , b ), полузамкнутом слева, равна приращению функции распределения на этом интервале:

.

6. Величина скачка функции распределения в точке разрыва равна вероятности появления случайной величины в этой точке.

Для непрерывной случайно величины функция F( х) везде непрерывна, а следовательно, величина скачка в любой точке и вероятность каждого отдельного значения случайной величины Х равны нулю. С первого взгляда этот вывод может показаться парадоксальным. Но теорема сложения для несчетного количества событий несправедлива. Поэтому вероятность попадания случайной величины на участок от a до b равна сумме вероятностей попадания на элементарные участки, образующие его, как бы малы этим участки ни были, но не равны сумме вероятностей попадания в отдельные точки. Аналогия: фигура состоит из точек с нулевой площадью, но ее площадь не равна сумме их площадей.

Для непрерывных случайных величин наиболее часто используется такой закон распределения, как плотность распределения.

Плотность распределения случайной величины

Плотностью распределения (или плотностью вероятности, иногда просто плотностью) случайной величины Х в точке х называется производная ее функции распределения в этой точке. Будем обозначать ее f(x). Тогда

.

Очевидно также, что функции распределения выражается через плотность распределения следующим образом:

.

Поэтому функцию распределения называют интегральным законом распределения, а плотность распределения – дифференциальным законом распределения. График плотности f(x) называют кривой распределения.

Из свойств функции распределения вытекают основные свойства плотности распределения случайной величины:

1.  Плотность распределения неотрицательна:

f(x) 0.

2.  .

3.  Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-нибудь значение их промежутка [ a, b ), равна

.

Законы распределения являются исчерпывающими характеристиками случайных величин. Однако в практике не всегда требуется такое полное описание случайной величины; зачастую достаточно бывает указать лишь отдельные числовые параметры случайной величины (числовые характеристики), среди которых наибольшую роль играют такие числовые характеристики, как математическое ожидания и дисперсия случайной величины.

Числовые характеристики случайной величины

1.  Математическим ожиданием случайной величины Х называется ее среднее значение, вычисляемое по формуле:

- для дискретной случайной величины;

- для непрерывной случайной величины.

ПРИМЕР. Дискретная случайная величина Х имеет следующие распределения:

<div align="center">

хі	1	3	8
рі	0,6	0,3	0,1

</div>

Найти математическое ожидание mx.

РЕШЕНИЕ.

.

ПРИМЕР. Непрерывная случайная величина Х имеет плотность распределения вида: .   Найти математическое ожидание случайной величины Х.