Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" (стр. 1 )

<big><big>КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ</big></big>

<big>по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика"</big>

<big>автор </big>

<big>I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ</big>

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности в случайных событиях.

1. Основные понятия теории вероятностей. Алгебра случайных событий.

Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и такого же опыта (испытания, эксперимента) протекает каждый раз несколько по иному.

Примеры случайных явлений: стрельба по цели; погода; продажа акций и др.

Случайным событием (далее просто событием) называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Примеры случайных событий:

1) опыт - бросание монеты; событие А - появление герба;

2) опыт - выстрел по мишени; событие B - попадание;

3) опыт - выявление спроса покупателей на какой-то товар; событие D - не менее 25% покупателей этот товар оценивают положительно.

Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий , если в результате опыта должно появиться хотя бы одно из них.

Примеры событий, образующих полную группу:

1) курс акций на следующей неделе "упадет", "возрастет", "останется прежним";

2) появление "1", "2", "3", "4", "5", "6" при бросании игральной кости;

Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если никакие из них не могут появиться вместе.

Примеры несовместных событий:

1) "появление туза" и "появление десятки" при вынимании одной карты из колоды;

2) "покупательный спрос на -ый товар" возрастает и "покупательский спрос на N-ый товар" уменьшится.

Изображая случайное событие геометрическим множеством точек области , то несовместные события A и B изобразятся непересекающимися подмножествами ( рис.1 )

Несколько событий в данном опыте называются совместными, если хотя бы два из них могут произойти одновременно (рис. 2)

Событие А называют следствием события В (ВА), если из появления события В следует появления события А (рис.3)

Рис.3

Каждый из возможных взаимоисключающих исходов опыта называют элементарным (неразложимым) событием. Из элементарных событий можно образовать составные (разложимые) события. Событие С называется составным, если можно указать по крайней мере два таких элементарных события и , что из осуществления каждого из них в отдельности следует факт осуществления события С.

Пример: событие С "выпадение четного числа очков при однократном бросании игральной кости" - состоит из трех элементарных событий: "выпало 2", "выпало 4", "выпало 6".

Элементарные события, входящие в состав составного события, называются благоприятствующими.

Равновозможными событиями в данном опыте являются такие события, что по условиям симметрии есть основания считать, что ни одно из них не является объективно более возможным, чем другое.

Пример: выпадение каждой грани игральной кости.

Достоверное событие определяется как событие, состоящее из всех возможных элементарных событий, т. е. в результате анализируемого случайного эксперимента обязательно произойдет одно из элементарных событий , I=1,2, ... , а следовательно, тот факт, что событие произойдет, достоверно.

Невозможное (пустое) событие - это событие, не содержащее ни одного элементарного события и, следовательно, при реализации исследуемого случайного эксперимента его осуществление невозможно.

В теории вероятностей над событиями производят различные операции, тесно связанные с алгеброй логики. Основными операциями являются сумма (объединение), произведение (пересечение), разность и взятие дополнения.

Суммой или объединением событий А1, А2, ... Аn называется такое событие С ( С= или С= ), которое состоит в осуществлении хотя бы одного из этих событий. Геометрическая интерпретация суммы событий показано на рис.4

Рис.4

Пример: если опыт состоит из трех выстрелов по мишени, и даны события: "А0 - ни одного попадания", "А1 - ровно одно попадание", "А2 - ровно два попадания", "А3 - ровно три попадания", то С=А0+А1+А2 - есть событие "не более двух попаданий"; В=А2+А3 - "не менее двух попаданий".

Произведением или пересечением событий А1, А2, ... , Аn называется такое событие С ( С= ), которое состоит в обязательном совместном наступлении всех событий А1, А2, ... Аn. Геометрическая интерпретация произведения событий показано на рис.5.

Рис.5

На языке элементарных событий произведение событий А1, А2, ... , Аn определяется как событие С, состоящее только из тех элементарных событий, которые одновременно входят во все рассматриваемые события.

Пример: покупается три лотерейных билета и рассматриваются события "В1 - первый билет без выигрыша", "В2 - второй билет без выигрыша", "В3 - третий билет без выигрыша", то событие В=В1В2В3 состоит в том, все три билета окажутся без выигрыша.

Операции сложения и произведения над событиями обладают рядом свойств, аналогичных свойствам обычных сложения и умножения чисел:

1. Переместительное свойство:

А+В=В+А; А*В=В*А.

2. Сочетательное свойство:

(А+В)+С=А+(В+С); (А*В)*С=А*(В*С).

3. Распределительное свойство:

А*(В+С)=А*В+А*С.

Однако некоторые операции над событиями не равнозначны операциям над числами, в частности, для событий

А+А=А; А*А=А.

Разностью событий А и В называется событие С (С=А-В), состоящие в том что событие В не происходит. Геометрическая интерпретация разности событий показано на рис.6

рис.6

Событие = называется дополнением к А или противоположным А (рис.7).

рис.7

Очевидно, что - это невозможное событие, а противоположные события А и представляют собой простейший случай полной группы событий.

Составные события можно представить в виде комбинаций элементарных или более простых событий, применяя рассмотренные выше операции.

Пример: при вытягивании трех лотерейных билетов возможны следующие элементарные события:

А1, А2, А3 - выигрыш первого, второго, третьего билета, соответственно;

, - проигрыш первого, второго, третьего билета, соответственно.

Рассмотрим составное событие В, состоящие в том, что из трех билетов только один может оказаться выигрышным. Очевидно, что событие В можно представить в следующей комбинации:

В=

Из определения суммы, произведения, разности, дополнения событий и их свойств вытекают следующие формулы:

Используя эти формулы, которые легко проверяются самостоятельно, можно представлять составные события в более простом аналитическом виде.

<big>Выводы:</big>

1. Понятиями теории вероятностей являются случайное явление; случайное событие, полная группа событий, элементарное событие, составное событие, несовместимые события, совместимые события, достоверное событие, невозможное событие, противоположное событие, равновозможные события.

2. Основными операциями над случайными событиями являются сумма (объединение), произведение (пересечение), разность и дополнение.

3. Любое составное событие можно представить в виде комбинаций элементарных событий или более простых событий.

<big>2. Вероятность случайного события.</big>

<big>Основные теоремы теории вероятностей</big>

Одной из важнейших характеристик случайного события является его вероятность, которую в большинстве практических задач связывают с эмпирическим понятием частоты события.

Частотой Р события А в данной серии испытаний называется отношение числа испытаний m, в которых появилось данное событие, к общему числу испытаний n:

Частота событий обладает следующими свойствами:

1. Частота случайного события А есть неотрицательное число, заключенное между нулем и единицей:

2. Частота достоверного события равна единице.

3. Частота невозможного события равна нулю.