Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" (стр. 8 )

Примеры случайных функций: ; ; .

Возникает задача: зная закон распределения случайной величины Х, а в некоторых случаях только ее отдельные числовые характеристики, найти числовые характеристики случайной величины Y.

Если известен закон распределения случайной величины Х, то характеристики случайной величины определяются по формулам:

- для дискретной случайной величины Х;

- для непрерывной случайной величины.

- для дискретной случайной величины;

- для непрерывной случайной величины.

Аналогично определяются начальные и центральные моменты любых порядков случайной величины Y:

,

- для дискретной случайной величины,

а для непрерывной

,

.

Итак, для нахождения числовых характеристик функции случайных величин вовсе не нужно знать ее закон распределения, а достаточно знать закон распределения аргумента.

Числовые характеристики функции нескольких случайных аргументов , если известна совместная плотность распределения системы аргументов определяются аналогичными формулами. Например, для непрерывной системы аргументов математическое ожидание и дисперсия функции равны:

,

.

Во многих задачах финансово-экономической практики числовые характеристики случайной величины могут быть определены как некоторые функции числовых характеристик системы случайных величин . В этом случае не требуется знать закон распределения системы аргументов, а достаточно знать лишь числовые характеристики этой системы.

Приведем ряд теорем о числовых характеристиках функций случайных величин, которые могут быть использованы в практике (некоторые из них уже были приведены ранее).

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

5.  .

6.  .

7.  .

8.  .

9.  .

Как видно из теоремы 9 дисперсия суммы случайных величин равна сумме всех элементов корреляционной матрицы этих случайных величин.

10.  Если случайные величины некоррелированы, то

Теорема сложения дисперсий справедлива и для случая, когда случайные величины независимы, так как из независимости случайных величин следует их некоррелированность.

11.  .

12.  .

Эту теорему часто используют для вычисления корреляционного момента:

.

13.  Если случайные величины некоррелированы, то

.

14.  Последняя теорема обобщается и на произвольное число независимых сомножителей:

.

15.  Дисперсия произведения независимых случайных величин выражается формулой

.

И, наконец, приведем основные теоремы для корреляционного момента:

16.  .

17.  .

18.  При сложении некоррелированных случайных векторов их корреляционные моменты складываются, т. е. если , , , то .

19.  Для любых случайных величин Х и У .

8. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Опыт учит, что при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности. Это положение, по существу, представляет собой физическое содержание закона больших чисел. В узком смысле слова под "законом больших чисел" понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к определенным постоянным, неслучайным величинам. Доказательство этих теорем опираются на неравенство Чебышева, которое является для них леммой.

Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание и дисперсию , справедливо неравенство:

;

где e > 0 - любое положительное число.

Данное неравенство ограничивает сверху вероятности больших отклонений случайной величины от ее математического ожидания.

Вторая форма неравенства Чебышева имеет вид:

.

Как следствие, из неравенства Чебышева можно получить неравенство Маркова:

если, среди значений случайной величины Х нет отрицательных, то

,

где .

ПРИМЕР.

Вероятность некоторого события А в каждом из 1000 опытов равна 0,4. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что отклонение числа наступлений события А от математического ожидания будет не более 40.

РЕШЕНИЕ.

Случайная величина Х - число свершения события А в n=1000 опытах, подчинена биномиальному закону распределения. Поэтому , а .

Неравенство Чебышева дает следующую оценку:

.

ПРИМЕР.

Математическое ожидание количества осадков в течение года в данной местности составляет 100 см. Определить вероятность того, что в следующем году в этой местности осадков выпадет не менее 200 см.

РЕШЕНИЕ.

Используя неравенство Маркова, получаем

.

Используя неравенство Чебышева, оценим сверху вероятность того, что случайная величина Х с любым законом распределения отклонится от своего математического ожидания не больше, чем на :

.

В действительности, для большинства случайных величин, встречающихся на практике, эта вероятность существенно больше, т. е. неравенство Чебышева дает нам оценку в первом, грубом приближении.

Перейдем к рассмотрению различных форм закона больших чисел. Во всех этих формах утверждается устойчивость средних: при неограниченном увеличении числа опытов n их средний результат приближается (сходится по вероятности) к некоторому постоянному, неслучайному числу.

Теорема Чебышева (устанавливает свойство устойчивости среднеарифметического). При неограниченном увеличении числа независимых опытов среднеарифметическое наблюденных значений случайной величины, имеющей ограниченную дисперсию , сходится по вероятности к ее математическому ожиданию:

,

где - сколь угодно малое положительное число.

При доказательстве теоремы Чебышева получаем такую оценку

.

Данная теорема относится и к случаю, когда все случайные величины независимы и имеют одно и то же распределение, а значит одно и то же и одну и ту же дисперсию .

Теорема Чебышева распространяется и на более сложный случай, когда закон распределения случайной величины Х от опыта к опыту изменяется.

В этом случае имеет место обобщенная теорема Чебышева. Если … - последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями , … и дисперсиями , …, ограниченными одной и той же постоянной , , то для любого сколь угодно малого положительного числа ,

.

При доказательстве этого предельного равенства получаем следующую оценку:

.

Частным случаем теоремы Чебышева являются теоремы Бернулли и Пуассона.

Теорема Бернулли (устанавливает связь между частотой события и его вероятностью). При неограниченном увеличении числа независимых опытов частота некоторого события А сходится по вероятности к его вероятности :