Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" (стр. 9 )

.

где - сколь угодно малое положительное число.

При доказательстве теоремы Бернулли получаем оценку

,

которая применяется на практике.

ПРИМЕР.

Сколько следует проверить приборов, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения частоты годных приборов от вероятности прибора быть исправным, равной 0,8, не превысит 0,01?

РЕШЕНИЕ.

В соответствии с оценкой из теоремы Бернулли имеем

.

Решая это неравенство относительно n, получаем

,

т. е. наименьшее число приборов, которые следует проверить, равно 16000.

Теорема Пуассона (устанавливает устойчивость частоты при переменных условиях опыта). Если производится n независимых опытов и вероятность появления события А в k–м опыте равна , то при увеличении n частота события А сходится по вероятности к среднеарифметическому вероятностей :

где - сколь угодно малое положительное число.

Одно из важнейших положений теории вероятностей – так называемая центральная предельная теорема. Как и закон больших чисел, она имеет ряд форм. Эти теоремы определяют условия возникновения нормального закона распределения (закона Гаусса). Такие условия часто встречаются на практике, что и объясняет широкую распространенность нормального закона в случайных явлениях природы.

Различные формы центральной предельной теоремы различаются между собой условиями, накладываемые на распределения образующих сумму случайных слагаемых .

Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых

Если независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией , то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы

неограниченно приближается к нормальному.

И тогда вероятность того, что случайная величина Y попадет в промежуток , выражается формулой

,

где - функция Лапласа;

; .

Более общей является следующая теорема Ляпунова.

Пусть - независимые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями , причем в сумме нет слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных, а также нет большого числа слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы исчезающе мало по сравнению с суммарным влиянием остальных, то при закон распределения случайной величины Y неограниченно приближается к нормальному.

ПРИМЕР.

Суммируется 24 независимых случайных величин, каждая из которых подчинена закону равномерной плотности распределения на интервале . Написать приближенное выражение для плотности распределения суммы этих случайных величин.

РЕШЕНИЕ.

Математическое ожидание суммы

.

Дисперсия суммы

Среднеквадратичное отклонение суммы

.

В соответствии с центральной предельной теоремой можно считать, что случайная величина подчинена нормальному закону.

Следовательно,

.

9. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Очень важным с практической точки зрения является опыт в котором каждому элементарному событию пространства соответствует не определенное числовое значение, а определенная числовая функция некоторого неслучайного аргумента t, который чаще всего интерпретируется как время.

Совокупность всех функций , получаемых при различных исходах испытания, и образует случайный процесс .

Для каждого значения t функция является функцией только и, следовательно, представляет собой случайную величину. Для каждого фиксированного значения аргумента функция зависит только от t и является функцией вещественного аргумента. Каждая такая функция называется реализацией случайного процесса.

Одномерной плотностью вероятности случайного процесса называется плотность вероятности случайной величины , являющейся значением случайного процесса при фиксированном значении аргумента .

Двумерной плотностью вероятности случайного процесса называется плотность вероятности системы двух случайных величин и , которые являются значениями случайного процесса для различных значений аргументов и .

Основные свойства двумерных плотностей вероятности:

1. .

2. .

Двумерных плотностей вероятностей достаточно для так называемой корреляционной теории случайных процессов. Однако для получения исчерпывающей характеристики случайного процесса надо увеличивать число аргументов плотности вероятности.

Математическим ожиданием случайного процесса называется неслучайная функция

.

Дисперсией случайного процесса называется неслучайная функция

.

Корреляционной функцией случайного процесса называется неслучайная функция двух аргументов , которая при каждой паре значений и равна корреляционному моменту соответствующих значений случайного процесса:

.

Корреляционная функция имеет следующие свойства:

1.  При корреляционная функция превращается в дисперсию случайного процесса :

2.  Корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов

3.  .

4.  Если к случайному процессу прибавить неслучайную функцию , то его корреляционная функция не изменится.

5.  Если умножить случайный процесс на неслучайную функцию , то его корреляционная функция умножится на .

Нормированной корреляционной функцией случайного процесса называется функция

.

Корреляционной функцией связи случайных процессов и называется корреляционный момент случайных величин и , т. е. выражение

.

Если =0, то случайные процессы называются некоррелированными.

Стационарным случайным процессом в широком смысле называется такой случайный процесс , математическое ожидание которого постоянно, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов, т. е.

б

где .

Случайный процесс называют стационарным в узком смысле, если все его многомерные плотности вероятности при любом n зависят только от интервалов , …, и не зависят от положения этих интервалов в области изменения аргумента t.