Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" (стр. 11 )

Вероятности состояний компании после первой распродажи акций берутся из первой строки матрицы перехода: , , , .

Вероятности состояний компании после второй распродажи акций вычисляем по рекуррентной формуле при :

Вновь применяя рекуррентную формулу при , определяем вероятности состояний компании после третьей распродажи акции:

Итак, после трех распродаж акций

1.  компания находится в устойчивом состоянии с вероятностью ;

2.  состояние компании немного ухудшится (вероятность );

3.  состояние компании существенно ухудшится (вероятность );

4.  компания обанкротится с вероятностью

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Математическая статистика - это наука, занимающаяся методами обработки результатов опытов или наблюдений над случайными явлениями.

Хотя аппарат математической статистики связан со случайными явлениями, но в отличие от теории вероятностей методы математической статистики позволяют охарактеризовать случайное явление по его ограниченной выборке.

Имея статистический материал n измерений какой-либо случайной величины (выборку), необходимо решить следующие основные задачи:

1) представить статистический материал в наиболее удобном виде;

2) оценить неизвестные характеристики исследуемой случайной величины;

3) проверить статистические гипотезы о параметрах или природе анализируемой модели.

Таким образом, математическая статистика помогает исследователю лучше разобраться в опытных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями: оценить значимы или не значимы наблюдаемые факты; принять или отбросить те или иные гипотезы о природе явления.

Вместе с тем методы математической статистики широко применяются для обработки статистических данных, не имеющих вероятностной природы, поэтому они широко применяются во многих областях человеческой деятельности: политике, экономике, финансах, медицине, военном деле и др.

10. Основные понятия математической статистики и статистическое распределение выборки

Результат n независимых измерений случайной величины X представляет собой выборку (x1, x2, ... , xn) из теоретически бесконечной генеральной совокупности, распределение признака в которой совпадает с теоретическим распределением ввероятностей величины Х. Последняя называется распределением генеральной совокупности, а его параметры - параметрами генеральной совокупности. В большинстве приложений теоретическая генеральная совокупность есть идеализация действительной совокупности, из которой получена выборка. Если эксперимент охватывает генеральную совокупность объектов, то полученный набор экспериментальных данных назывется генеральной выборкой.

Первое, что попадает в руки аналитика - это протокол в котором зарегистрированы: номер опыта i и значение хi, которое приняла в этом опыте случайная величина Х. Такой протокол, представленный в виде таблицы или виде вектора, называют первичной статистической совокупностью. При большом числе опытов n рассмотрение и осмысливание таблиц или векторов первичной статистической совокупности затруднительно, поэтому производят ее упорядочение. Например, размещают результаты опыта в порядке возрастания случайной величины. Таким образом получают упорядоченную статистическую совокупность. Размах выборки есть разность между наибольшим и наименьшим значением хi.

По упорядоченной статистической совокупности уже можно построить статистическую функцию распределения:

Функция - разрывная ступенчатая функция, равная нулю левее наименьшего наблюденного значения случайной величины Х и единице, правее наибольшего. Теоретически она должна иметь n скачков, где n - число опытов (размер выборки), а величина каждого скачка должна быть равной - частоте наблюдаемого значения случайной величины n. Практически, если одно и то же значение наблюдалось несколько раз, соответствующие скачки сливаются в один, так что общее число скачков равно числу различных наблюденных значений случайной величины. Величина скачка в каждой точке равна , где - число повторений значения в полученной выборке.

Рис. 1-ст.

Очевидно, что другие n опытов дали бы несколько иной график функции , но общая тенденция сохранилась бы. При неограниченном увеличении n кривая будет приближаться (сходиться по вероятности) к функции распределения cлучайной величины Х. На практике применяются другие, более простые способы построения законов распределения случайной величины по опытным данным.

Для того, чтобы составить себе общее представление о законе распределения случайной величины X, незачем фиксировать каждое наблюденное значение и строить статистическую функцию распределения. Этим целям лучше служат группированный статистический ряд и гистограмма.

Для построения группированного статистического ряда весь участок оси абсцисс, на котором расположены значения случайной величины X, наблюдавшиеся в опыте, делятся на участки или “разряды”. Длины разрядов необязательно брать равными друг другу: бывают случаи, когда на участках оси абсцисс, где наблюденные значения X располагаются гуще, удобнее брать разряды более мелкими, а там где реже - более крупными (или объединять два или более равных по длине разрядов в один). Границы разрядов удобно брать “круглыми” числами.

Группированным статистическим рядом называется таблица, где в верхней строке указаны разряды: от и до, в нижней - соответствующие им частоты:

причем

Частота события вычисляется как отношение числа опытов, в которых случайная величина попала в -й разряд к общему числу проведенных опытов:

.

Если значение случайной величины попало в точности на границу между разрядами, то её можно отнести либо к левому разряду, либо к правому (ведь вероятность того, что непрерывная случайная величина примет заранее заданное значение, равна нулю). Можно использовать и “симметричное правило”: если значение случайной величины попало в точности на границу разрядов, то разделить его поровну между соседними разрядами и прибавить по к числам для обоих разрядов.

Число разрядов, на которые следует группировать статистические данные, не должно быть слишком большим ( тогда ряд распределения становится слишком невыразительным, и частоты в нем обнаруживают незакономерные колебания); с другой стороны оно не должно быть слишком малым (при этом свойства распределения описываются слишком грубо). Практика показывает, что в большинстве случаев рационально выбирать число разрядов порядка .

Группированный статистический ряд часто оформляется графически в виде так называемой гистограммы - статистического аналога кривой распределения. Гистограмма строится следующим образом. По оси абсцисс откладываются разряды и на каждом разряде как его основание строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного разряда (высота прямоугольника равна частоте данного разряда , разделенной на его длину ). Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь ее равна единице.