Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" (стр. 16 )

то при большом числе опытов n закон распределения величины R обладает весьма простыми свойствами: он практически не зависит от закона распределения случайной величины Х и мало зависит от числа опытов n, а зависит только от числа m значений случайной величины и при увеличении числа n приближается к распределению . При таком выборе коэффициентов сi, мера расхождения R обычно обозначается :

Распределение , как известно, зависит от параметра r, называемого "числом степеней свободы". При пользовании критерием число степеней свободы полагается равным числу разрядов m минус число независимых условий ("связей"), наложенных на частоты . Примерами таких условий могут быть:

если мы требуем только того, чтобы сумма частот была равна единице (это требование накладывается во всех случаях); или же

если мы требуем, чтобы совпадало статистическое среднее с гипотетическим, или же

если мы требуем, кроме того, еще и совпадения дисперсий и т. д.

Для распределения составлены таблицы. Пользуясь ими, можно для каждого значения и число степеней свободы r найти вероятность p того, что величина, распределенная по закону , превзойдет это значение. Если эта вероятность весьма мала, гипотеза отбрасывается как неправдоподобная. Если эта вероятность относительно велика, гипотезу можно признать не противоречащей опытным данным.

Вопрос о том, какую вероятность p считать очень малой, чтобы отбросить или пересмотреть гипотезу, не может быть решен из математических соображений.

Обычно вероятности, не превосходящие 0,01, считают уже достаточно малыми (в других случаях считают малыми вероятности, не превосходящие 0,05). Вероятность р называют уровнем значимости критерия, а отвергающую ей область больших отклонений - критической областью.

Критерий согласия можно применять и для непрерывных случайных величин, если, приближенно заменить непрерывную случайную величину Х дискретной с возможными значениями xi*, равными середине i-го разряда, и частотами pi*, равными частоте попадания случайной величины Х в i-й разряд. Вероятности pi вычисляются по формуле

,

.

ПРИМЕР. Произведено n = 800 наблюдений над случайной величиной Х, возможные значения которой ,. Результаты 800 опытов представлены в виде таблицы:

Xi	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ni	25	81	124	146	175	106	80	35	16	6	6
Pi*	0,031	0,101	0,155	0,186	0,21	0,132	0,1	0,044	0,02	0,008	0,008

Требуется оценить правдоподобие гипотезы Н, состоящей в том, что Х распределена по закону Пуассона ( где =m) с параметром , равным статистическому среднему наблюденных значений случайной величины Х. В качестве уровня значимости принять

Решение. Найдем статистическое среднее mx*

Вычислим вероятность , соответствующие закону Пуассона:

И так далее:

Находим значение :

Число степеней свободы r в данном случае равно числу значений случайной величины (m=11) минус единица (первое условие ) и минус еще единица - совпадение гипотетического математического ожидания со статистическим: r=11-1-1=9. По таблице для распределения при r=9 и =15 находим р=0,1. таким образом, в данном примере гипотеза Н о пуассоновском распределении случайной величины Х противоречит опытным данным и ее надо отбросить, так как р=0,1<. Простым критерием проверки гипотезы о виде закона распределения является критерий Колмогорова. Однако этот критерий можно применять только в том случае, когда гипотетическое распределение закона распределения полностью известно заранее из каких-либо теоретических соображений, т. е. когда известен не только вид закона распределения, но и все входящие в нее параметры.

Общая схема применения критерия Колмогорова может быть сформулирована следующим образом.

1. По результатам n независимых опытов определяют статистическую (опытную) функцию распределения .

2. Определяют величину D критерия Колмогорова:

и вычисляют

опыт=.

3. Принимают тот или иной уровень значимости критерия Колмогорова.

4. Зная находят по таблице функции Колмогорова соответствующее значение . Если опыт< гипотеза принимается. Если же опыт>, гипотеза бракуется.

ПРИМЕР. В ОТК были измерены диаметры 60 валиков из партии, изготовленной на одном станке-автомате. Результаты измерения приведены в виде статистической совокупности:

Li	13,94 14,04	14,04 14,14	14,14 14,24	14,24 14,34	14,34 14,44	14,44 14,54	14,54 14,64	14,64 14,74
mi	1	1	4					6
Pi

Проверить с помощью критерия Колмогорова гипотезу о том, что выборка извлечена из генеральной совокупности, равномерно распределенной в интервале (13,94; 14,74), при уровне значимости .

РЕШЕНИЕ. Функция распределения равномерно распределенной случайной величины Х в интервале (13,94; 14,74) имеет следующий вид:

при 

Пользуясь данными статистической совокупности, найдем значения статистической функции распределения . Определим также значения теоретической функции распределения F(x) и абсолютные значения разности . Результаты вычисления представлены в таблице:

i	хi	F(хi)	F(х)	di
1 2 3 4 5 6 7 8 9	13,94 14,04 14,14 14,24 14,34 14,44 14,54 14,64 14,74	0 0,017 0,033 0,1 0,275 0,517 0,741 0,9 1	0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1	0 0,108 0,217 0,275 0,225 0,108 0,009 0,025 0

Сравнивая абсолютные величины разностей , определим