Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" (стр. 6 )

.

В некоторых случаях используют коэффициент вариации, , равный отношению среднеквадратичного отклонения к математическому ожиданию:

.

Для показательного закона распределения коэффициент вариации .

Для показательного распределения вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале , определяется формулой

.

Замечательным свойством показательного распределения является то, что при наступлении события случайная величина имеет такой же закон распределения, как и величина Х. Это свойство объясняет, почему показательное распределение имеют такие случайные величины, как время обслуживания клиента, длительность телефонного разговора, время безотказной работы прибора и т. д.

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по гауссовому закону (закону Гаусса или по нормальному закону), если ее плотность распределения вероятности имеет вид

,

где и - соответственно математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение случайной величины Х.

Закон Гаусса играет исключительно важную роль в теорию вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение.

Кривая нормального распределения имеет симметричный вид.

Гауссов закон распределения

Вероятность попадания случайной величины, распределенной по закону Гаусса (нормально распределенной) в интервале вычисляется по формуле

где - табулированная функция Лапласа (интеграл вероятностей).

Для функции Лапласа в книгах по теории вероятностей приведены таблицы.

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1.  Ф(0)=0;

2.  Ф(-х)=-Ф(х);

3.  Ф(+)=0,5. (Ф(-)=-0,5).

Закон Гаусса широко распространен в случайных явлениях природы. Он возникает в тех случаях, когда складывается много независимых (или слабо зависимых) случайных величин Х1, Х2, … Хn:

,

причем эти величины сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы. Тогда, каковы бы ни были законы распределения отдельных величин Х1, Х2, … Хn, закон распределения их суммы Х будет близок к закону Гаусса (причем тем ближе, чем больше число слагаемых n).

ПРИМЕР. Случайная величина распределена по закону Гаусса и имеет параметры и . Найти вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания на величину больше, чем 3.

РЕШЕНИЕ.

По таблицам функции Лапласа находим . Тогда .

Это – действительно малая вероятность.

Заметим, что само “правило трех сигма” ведет свое начало именно от нормального распределения. Для нормального закона это правило выполняется с очень высокой точностью; применяя его, мы будем ошибаться приблизительно в трех случаях из 1000.

6. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Совокупность n случайных величин (Х1, Х2, … Хn), рассматриваемых совместно, называется системой n случайных величин или n-мерной случайной величиной.

В частном случае при n=2 имеем систему случайных величин (X, Y), которая геометрически интерпретируется как случайная точка с координатами (x, y) на плоскости x0y (рис. 6.1.) или как случайный вектор, направленный из начала координат в точку (x, y).

Рис. 6.1

Законами распределения системы двух дискретных случайных величин с конечным числом возможных значений являются таблица распределения и функция распределения, а для системы непрерывных случайных величин – функция распределения и плотность распределения. В таблице распределения указываются вероятности того, что случайная величина Х примет значение и одновременно с этим случайная величина Y примет значение , , (рис.6.2).

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

  Рис. 6.2.

Все возможные события , , образуют полную группу событий, поэтому

.

При этом

.

Наиболее общей формой закона распределения системы случайных величин является функция распределения.

Функцией распределения системы n случайных величин (Х1, Х2, … Хn) называется вероятность совместного выполнения n неравенств , :

.

Для системы двух случайных величин (X, Y) функция распределения является вероятностью выполнения двух неравенств:

.

Геометрически функция распределения интепретируется как вероятность попадания случайной точки (X, Y) в левую нижнюю часть квадрата плоскости с вершиной в точке (рис. 6.3).

Рис. 6.3

Основные свойства функции распределения для системы случайных величин очевидны из данной геометрической интепретации:

1.

2.

3.

4.

5. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу:

, если

, если

6. Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям (рис. 6.4) вычисляется по формуле

.

Рис. 6.4

При изучении непрерывных систем случайных величин (каждая случайная величина, входящая в систему, непрерывна) чаще всего используют плотность распределения.

Если функция распределения дифференцируема по каждой переменной, то плотность вероятности

Аналогично для системы двух случайных величин (X, Y)

, а .

Поверхность, изображающая функцию , называется поверхностью распределения.

Плотность вероятности системы двух случайных величин имеет следующие свойства, которые легко обобщаются на систему случайных величин большей размерности:

1. .

2. .

3. Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему (X, Y), выражаются через плотность вероятности системы формулами:

; .

4. Условные плотности вероятности выражаются через безусловные по формуле:

при .