Гидрогазодинамика (стр. 11 )

.

Внешние силы, действующие на выделенный объем представим в виде суммы сил давления, приложенных к сечениям А1–В1 и С2–D2, обозначим их Р1 и Р2 соответственно, и остальных внешних сил, которые обозначим одним общим слагаемым N. Тогда импульс сил Fd t запишется в виде

.

Подставляя и в и сокращая на d t, получим

.

Из этого уравнения следует, что при установившемся движении главный вектор внешних сил, приложенных к объему жидкости равен потоку количества движения через его поверхность. В данном виде уравнение сохранения количества движения находит широкое практическое применение при расчете сил, действующих со стороны потока жидкости на элементы проточной части каналов, так как в соответствии с третьим законом Ньютона сила реакции жидкости на поверхность канала R противоположна вектору силы N. Таким образом, из следует

.

Уравнение позволяет найти силу реакции жидкости на стенки канала (или находящиеся в потоке тела), если известен расход жидкости G, геометрия проточной части и величины давлений во входном и выходном сечении проточной части. В частности, для определения сил, действующих на тела, помещенные в поток, достаточно знать распределение скоростей по контрольной поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем. Так как контрольную поверхность можно выбирать произвольно, то целесообразно выбрать ее таким образом, чтобы скорости на ней определялись по условию задачи.

Уравнение векторное. Для практического использования его целесообразно спроектировать на координатные оси.

Получим теперь частную форму уравнения сохранения количества движения, которая часто используется при анализе гидрогазодинамических задач и при их практическом решении. Рассмотрим прямолинейный канал и запишем уравнение в проекции на ось канала, считая массовые силы пренебрежимо малыми. В такой постановке из внешних сил на жидкость, располагающуюся в канале между сечениями 1 и 2, будут действовать силы давления и сила вязкого сопротивления. Силы давления приложены к плоскостям сечений 1 и 2, а также к боковой поверхности рассматриваемого объема жидкости, рис. 3.7.

Рис. 3.7. К выводу уравнения сохранения количества движения

Считая сечения 1 и 2 близко расположенными, запишем давление, действующее на боковую поверхность жидкого объема, как . Тогда, по аналогии с проекция на ось канала всех сил давления Fp запишется в виде

.

Силу сопротивления Fm выразим через напряжение трения t:

,

где s – длина периметра канала.

С учетом введенных величин, а также выражения для расхода , уравнение сохранения количества движения в проекции на ось канала запишется, как

.

Переходя в уравнении к пределу, аналогично тому, как это было сделано при выводе уравнения, получим дифференциальную форму уравнения сохранения количества движения для одномерного стационарного движения жидкости в прямолинейном канале

.

Учитывая, что , можем записать в виде

.

Величина называется полным импульсом потока. Из уравнения следует, что при одномерном течении идеальной жидкости полный импульс потока сохраняется постоянным. Следовательно, давление в потоке может изменяться даже тогда, когда нет сил трения, и поток не выполняет механической работы. Для этого достаточно изменить скорость течения. Это может быть достигнуто, например, подводом или отводом теплоты.

С учетом уравнения неразрывности , уравнение можно записать в виде

.

Из уравнения видно, что при отсутствии сил трения ускорение потока возможно только за счет уменьшения статического давления.

4.5. Условия перехода скорости газа через скорость звука

Найдем условие, при котором газ может разогнаться до скорости большей скорости звука при течении по каналу переменного сечения. Рассмотрим стационарное течение идеального газа в канале переменного сечения, считая, для простоты, что газодинамические параметры зависят только от одной координаты, совпадающей с осью канала. То есть предполагаем, что в каждом из поперечных сечений газодинамические параметры распределены однородно. Уравнение неразрывности для данного случая имеет вид

,

где F – площадь поперечного сечения канала. Продифференцируем это уравнение и разделим обе части на постоянную величину . В результате получим

.

Представим первый член уравнения в виде

.

Выразим отношение из уравнения Бернулли. Учитывая, что для идеального газа и пренебрегая потенциальной энергией «положения», получим:

.

Подставим, в и учтем, что производная плотности по давлению равна обратной величине квадрата скорости звука, то есть . Тогда получим

Или, проведя преобразования,

.

Отношение скорости течения газа к местной скорости звука носит название числа Маха и обозначается через М:

.

Течения со скоростями называются дозвуковыми, а при – сверхзвуковыми. При достижении потоком скорости звука М = 1 и имеет место звуковое течение.

Число Маха играет важную роль в теории газовой динамики. Оно выступает и как газодинамический параметр и может использоваться, как критерий подобия. Рассматриваемое, как критерий подобия, М показывает, какое влияние на газодинамические параметры оказывает сжимаемость среды. Если течение происходит с числами Маха, то для большинства практических задач сжимаемость можно не учитывать и для решения использовать модель идеальной жидкости.

С использованием данного параметра уравнение примет вид

.

Это уравнение носит название уравнения Гюгонио, из которого, видно, что для ускорения дозвукового потока требуется уменьшать площадь сечения канала, а для ускорения сверхзвукового – увеличивать. Таким образом, для получения сверхзвукового потока канал должен иметь сужающуюся дозвуковую часть , при этом и поток ускоряется. В минимальном сечении скорость потока достигает скорости звука . В последующей расширяющейся части канала течение сверхзвуковое и поток продолжает ускоряться. Круглый канал такой формы называется соплом Лаваля.

Если где-нибудь в потоке газа скорость u станет равна местной скорости звука а, то такая скорость газа u = a* называется критической; критическими называются и соответствующие значения р*, r*, Т* давления, плотности и температуры. Живое сечение потока, где скорость течения газа достигает критической скорости, называется критическим сечением. Поэтому минимальное сечение канала F* называется критическим*.

4.6. Основные термодинамические соотношения газовой динамики
при адиабатическом течении идеального совершенного газа

Напомним, что адиабатическим является процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой, а идеальным называется газ, лишенный внутреннего трения. Так как внутреннее трение и теплопроводность явления одной природы – процесса молекулярного переноса, то пренебрегая трением не будем учитывать и теплопроводность в газовой фазе. Кроме того будем пренебрегать и явлениями лучистого переноса теплоты.